Dada una matriz $A_{n \times n}$, que tiene elementos $a_{i,j} \sim \mathrm{unif} \left[a,b\right]$, ¿cuál es la probabilidad de $\det(A)$ cero? Lo que si $a_{i,j}$ tiene cualquier otra distribución?
Añadido: supongamos que una extensión de la sobre el problema; ¿Cuál es la probabilidad de, $\mathbb{P}(|\det(A)| < \epsilon ), \; s.t. \; \epsilon \in \mathbb{R} $ ?
Gracias!
Aquí es otro (inductivo) prueba inspirado por Marvis la sugerencia de abajo.
Se basa en el hecho de que $\det A =0$ fib de las columnas de a $A$ son linealmente independientes (li.). Deje $\Delta_k = \{ (x_1,...,x_k) | x_i \in \mathbb{R}^n, \ x_1,...,x_k \mbox{ are not li.} \}$. Luego, si se demuestra que $\Delta_n$ tiene medida de Lebesgue cero, se sigue que el conjunto de $\{A | \det A = 0 \}$ tiene medida de Lebesgue cero.
De hecho, vamos a mostrar que el $m_k \Delta_k = 0$ $k=1,...,n$ donde $m_k$ es la medida de Lebesgue en $\mathbb{R}^n \times\cdots \times \mathbb{R}^n$ ($k$ las copias).
En primer lugar, debemos mostrar que $\Delta_k$ es medible. Si dejamos $\phi(x_1,...,x_k) = \min_{\|\alpha\| = 1} \| \sum \alpha_i x_i \|$, entonces podemos ver que $\phi(x_1,...,x_k) = 0$ fib $\{x_1,...,x_k\}$ no son li. Desde $\phi$ es continua, y $\Delta_k = \phi^{-1} \{0 \}$ vemos que $\Delta_k$ es Borel medible.
Es sencillo ver que $\Delta_1 = \{0\}$, por lo tanto $m_1 \Delta_1 = 0$. Ahora supongamos que esto es cierto para $\Delta_k$,$1 \leq k < n$. Deje $N = \mathbb{R}^n \times \Delta_k$. Por supuesto, $m_{k+1} N = 0$ (desde $m_k \Delta_k = 0$). También, $N \subset \Delta_{k+1}$.
Considere la posibilidad de un punto de $(x, x_1,...,x_k) \in \Delta_{k+1} \setminus N$ (nota de los índices en el $x$s). A continuación, $\{x_1,...,x_k\}$ son li., pero $\{x, x_1,...,x_k\}$ no son li. Esto puede ser cierto iff $x \in \mathbb{sp} \{x_1,...,x_k\}$ $k$- dimensiones hyperplane en $\mathbb{R}^n$ pasando a través de $0$. Tenga en cuenta que $m(\mathbb{sp} \{x_1,...,x_k\}) = 0$. A continuación, el uso de Fubini tenemos (con un ligero abuso de notación) \begin{eqnarray} m_{k+1} (\Delta_{k+1} \setminus N) &=& \int 1_{\Delta_{k+1} \setminus N} \, d m_{k+1}\\ & = & \int 1_{\mathbb{sp} \{x_1,...,x_k\}}(x) 1_{\Delta_k^C}((x_1,...,x_k)) \, d x \, d(x_1,...,x_k)\\ & = & \int \left( \int 1_{\mathbb{sp} \{x_1,...,x_k\}}(x) \, dx \right) 1_{\Delta_k^C}((x_1,...,x_k)) \, d(x_1,...,x_k)\\ & = & \int m(\mathbb{sp} \{x_1,...,x_k\}) 1_{\Delta_k^C}((x_1,...,x_k)) \, d(x_1,...,x_k) \\ & = & 0 \end{eqnarray} Desde $m_{k+1} (\Delta_{k+1} \cap N) = m_{k+1} N = 0$,$m \Delta_{k+1} = 0$. De ello se desprende que $m \Delta_k = 0$$k=1,...,n$.
Si $\mu$ es cualquier medida en $\mathbb{R}^n\times \cdots \mathbb{R}^n$ que es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue ($m_n$ en este caso), entonces es claro que $\mu \Delta_n = 0$.
En particular, si $\mu$ puede ser expresada en términos de una articulación función de densidad de probabilidad, a continuación,$\mu \Delta_n = 0$. Creo que esto incluye el caso de que la intención de la pregunta.
He mencionado esto en los comentarios de arriba, pero creo que vale la pena repetir aquí: http://www1.uwindsor.ca/math/sites/uwindsor.ca.math/files/05-03.pdf.
Un cero el determinante es una restricción lineal de los elementos de la matriz. En otras palabras, dado que todos los valores, excepto uno, que esta restricción se corrige el valor a lo que es necesario para que el determinante de a es 0. Parece que está cogiendo un valor fijo de uno (o más) de las entradas de la matriz a partir de una distribución continua, la cual sería un evento de 0 a medir (en otras palabras, la probabilidad de tener un 0 el determinante es 0 mientras estamos recoger a partir de una distribución continua).
La probabilidad es cero. Sólo necesitamos considerar la 2-por-2 caso.
WLOG, considere la posibilidad de una distribución uniforme en $[0,1]$. A continuación, generar la $A_{11}$ $A_{21}$ entradas de forma independiente.
El $A_{12}$ entrada entonces será un múltiplo $k$$A_{11}$: $$k = \frac{A_{12}}{A_{11}}.$$
En orden para $A$ a un ser singular, a continuación, $A_{22} = kA_{21}$ exactamente. Esto significa que $A$ es singular si y sólo si una variable aleatoria uniformemente distribuida supone un valor específico, a saber,$kA_{21}$. La probabilidad de una variable aleatoria continua asumiendo un valor discreto es cero.
De hecho, para algunos valores de$A_{11}$$A_{21}$, el valor de $\frac{A_{21}}{A_{11}} A_{12} > 1$ es una posibilidad. Por ejemplo, considere la posibilidad de
$$ A =\begin{pmatrix} .25 & .75 \\ .5 & a \end{pmatrix}.$$
El único valor de $a$ lo que hace que esto no es singular de fuera de la unidad de intervalo.
¿Por qué podemos considerar el 2x2 caso sólo? Para cualquier singulares $n$a$n$ de la matriz, es posible elegir dos filas y dos columnas, tal que, el 2-por-2 de la matriz de sus entradas es singular.
Como alternativa, considere la posibilidad de cualquier $n$a$n$ matriz de este conjunto de elementos son uniformemente elegido de $[0,1]$ (o $(0,1)$ - no importa).
Entonces, para el $i$th fila y $j$ésima columna, una condición necesaria para la singularidad de $A$ es que el $A_{ij} = A_{pj} \frac{A_{iq}}{A_{pq}}$ durante al menos un valor de $p = 1,\ldots,n,\ p \neq i$$q = 1,\ldots,n,\ q \neq j$.
En otras palabras, si usted considera que cualquier generado al azar de los elementos de la matriz, entonces debe ser un escalar varios de algún elemento en la misma columna, y que escalar múltiples debe ser la relación de los elementos de las filas correspondientes en una columna diferente.
Así, usted tiene $$P(\det A = 0) = \sum_{p,q} P\left(A_{ij} = A_{pj}\frac{A_{iq}}{A_{pq}}\right).$$
La suma es finita, y cada individuo la probabilidad es la probabilidad de que $A_{ij}$ asume un valor distinto en una distribución continua.
Uno puede notar que la probabilidad de la suma de la falta de la "y" términos, la suma es, básicamente, la probabilidad de un evento u otro evento, muchas veces. Pero la inclusión-exclusión de las demandas restamos fuera de la probabilidad de que ambos eventos ocurren. Sin embargo, esta es, obviamente, cero, si $A_{ij} = \alpha$$A_{ij} = \beta$, entonces podemos ver que $\alpha = \beta$ e esta igualdad conduce a el determinante de un 2-por-2 de la matriz es cero.
Marque esta relacionado con el trabajo:
http://www.inf.kcl.ac.uk/staff/ccooper/papers/Li_Matrix_GFt.pdf
Se considera un caso más general....
La mayoría de las respuestas se basan en la hipótesis de que es en Rn X Rn. Pero ¿qué pasa si Una está en Fn x Fn, donde Fn es un campo finito? Recuerdo de álgebra lineal de la clase hace cincuenta años que el álgebra lineal funciona en cualquier campo; es esto cierto? Esto conduce a toda una nueva línea de investigación con interesantes aplicaciones en crypto, tales como el número de claves posibles en un cifrado de Hill.
Supongo que es hora de probar algunos experimentos de monte carlo en mi HP Prime de nuevo.
Ooop. olvidar que he publicado! No quiero violar la seguridad nacional o capacitar a los terroristas o a los Mafiosos.
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