¿Cómo puedo demostrar que la combinación convexa de matrices ortogonales tiene norma espectral $ \leq 1$ ? (Tengo alguna idea de cómo hacerlo... pero ahora mismo estoy atascado). Además, ¿cómo podría demostrar que la bola de norma espectral unitaria es un conjunto convexo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Si $A$ es ortogonal, entonces $\|A\| = 1$ (porque $\|Ax\| = \|x\|$ para todos $x$ ).
Supongamos que $A,B$ son ortogonales y $\mu \in [0,1]$ .
Entonces $\|\mu A + (1-\mu)B \| \le \|\mu A \| + \| (1-\mu)B \| = \mu \|A\| + (1-\mu) \|B\|= 1 + (1-\mu) = 1$ .
Cualquier bola normativa es convexa porque la función $x \mapsto \|x\|$ es convexo, y si dejamos que $\phi(x) = \|x\|$ entonces vemos que la bola unitaria viene dada por $\phi^{-1} (-\infty,1]$ y, por tanto, convexo (ya que los conjuntos de niveles de una función convexa son convexos).
Como alternativa, se puede observar que si $\|A\| \le 1$ , $\|B\| \le 1$ entonces la misma fórmula anterior (con el penúltimo $=$ sustituido por $\le$ ) muestra que $\|\mu A + (1-\mu)B \| \le 1$ .
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No es cierto. $I$ y $-I$ tienen norma una, pero $\frac{1}{2}I + \frac{1}{2}(-I) = 0$ que tiene norma cero.
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¿Quieres decir que la norma $\le 1$ ¿Por casualidad?
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Sí. Disculpas, quise decir norma espectral como máximo 1. Editaré la pregunta.
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La bola de la norma espectral unitaria es un espectroedro. Mira este .