Supongamos que tenemos $9$ taxis, y tres aeropuertos, uniport $A$ , aeropuerto $B$ y el aeropuerto $C$ . Queremos enviar $3$ taxis al aeropuerto $A$ , $5$ taxis al aeropuerto $B$ y $1$ taxi al aeropuerto $C$ . Si exactamente tres de los taxis necesitan ser reparados, ¿cuál es la probabilidad de que cada aeropuerto reciba uno de los taxis que necesitan reparación?
Estoy luchando por resolver este problema. Hay un teorema que quiero utilizar, que aparece a continuación:
TEOREMA : El número de formas de partición $n$ objetos distintos en $k$ grupos distintos que contienen $n_1, n_2, \ldots , n_k$ respectivamente, donde cada objeto aparece exactamente en un grupo y $\sum_{i=1}^k n_i = n$ es $$N = {n\choose n_1 \;n_2 \;\cdots\; n_k} = {n!\over n_1!\;n_2!\;\cdots\;n_k!}.$$
La siguiente es una solución Encontré aquí en la página 83 para este problema.
SOLUCIÓN : Utilizando el teorema, hay $${9\choose 3\;5\;1} = {9!\over 3!\;5!\;1!} = 504\text{ ways}$$ para enviar los taxis a todo los aeropuertos. Deja que $W$ denotan el caso de que el $3$ Los taxis que necesitan ser reparados se envían a cada aeropuerto. El número de formas en que podemos enviar cada uno de los $3$ de los taxis rotos a los tres aeropuertos viene dada por $${3\choose 1\;1\;1} = 3! = 6. \tag{Why is this important?}$$ Además, el número de formas en que podemos enviar el resto de $6$ a los tres aeropuertos viene dada por $${6\choose 2\;4\;0} = {6!\over2!\;4!} = 15$$ (ya que cada uno de los tres taxis rotos ya están ocupando un lugar). Así que, por el $mn$ -el número de puntos en el espacio muestral para $W$ viene dada por $$N_W = \underbrace{6\times15}_\text{Why?} = 90.$$ Así, la probabilidad de que cada uno de los tres aeropuertos reciba un taxi roto es $$P(\text{broken taxi to each } A,B,C) = {N_W\over N} = {90\over504}.$$
¿Puede alguien explicar los dos Por qué s? Pensé que manteniendo constante cada uno de los tres taxis rotos, sólo tendríamos que considerar el resto de $6$ y originalmente pensé que la probabilidad sería $15\over504$ . Sin embargo, esta probabilidad parece inusualmente bajo . Por lo tanto, fui y encontré la solución escrita arriba. Sin embargo, no fui capaz de comprender la lógica detrás de la solución.
Esto es lo que creo que está mal en mi proceso de lógica y cómo obtener la lógica correcta: Manteniendo cada uno de los taxis rotos a un particular aeropuerto es donde la lógica es incorrecta. También queremos poder permutar los taxis rotos entre los tres aeropuertos. Por eso necesitamos el ${3\choose1\;1\;1}$ . A continuación, podemos permutar el resto de $6$ taxis entre los tres aeropuertos, dándonos la ${6\choose 2\;4\;0}$ . ¿Es este el pensamiento correcto?
Un problema anterior nos pedía encontrar la probabilidad de que exactamente uno se envía un taxi roto al aeropuerto $C$ . Hice el siguiente planteamiento:
Si estamos enviando $1$ taxi roto al aeropuerto $C$ entonces podemos permutar los restantes $8$ así $${8\choose 3 \; 5\; 0} = 56,$$ que este la respuesta era correcta según el reverso del libro. Sin embargo, apliqué el mismo principio al problema en cuestión y sólo recibí $15$ maneras. ¿Es la forma "correcta" de utilizar el teorema y la $mn$ -regla que decir: Hay $${1\choose 0\;0\;1} = 1$$ manera de enviar $1$ taxi roto al aeropuerto $C$ y $56$ maneras de enviar claramente al otro $8$ a los aeropuertos $B$ y $C$ . Así que, por el $mn$ -regla, hay $1\times56$ puntos de muestreo para que un taxi roto sea enviado al aeropuerto $C$ . Esto tiene sentido para mí, pero puede que me esté inventando una solución que da la respuesta correcta, pero que no es lógicamente correcta.
