¿Cuáles son las definiciones de elipticidad?

Question

La elipticidad parece tener muchas definiciones. Hasta ahora, conozco tres. ¿Hay otras definiciones de elipticidad que conozcas, y si es así, dónde las has encontrado?

Las tres definiciones que estoy enumerando tienen eso $a \geq b$ .

Definición 1: $$ \varepsilon = \frac{a-b}{a} = 1 - \frac{b}{a}. $$ Esta definición procede de mi "Diccionario de Física y Matemáticas" de McGraw-Hill.

Definición 2: $$ \varepsilon = \sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}. $$ Esta definición proviene de http://mathworld.wolfram.com/Ellipticity.html . Como nota al margen, la página de Wolfram sobre la elipticidad también define algo llamado aplanamiento que es equivalente a mi definición 1.

Definición 3: $$ \varepsilon = \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}. $$

He hecho una ligera búsqueda de información sobre la definición tres, pero no he encontrado nada en la literatura.

Answer 1

Existen varias definiciones de elipticidad (también llamada excentricidad), aunque no son cosas tan diferentes como diferentes medidas de divergencia de la circularidad perfecta:

• Su primera definición es el primer aplanamiento (o "primario") f que es igual al verso del ángulo [ref. 1];
• Su segunda definición es la primera (o "primaria") excentricidad ε que es igual al seno del ángulo [ref. 1];
• Su tercera definición es la tercera excentricidad ε'' cuya identidad trigonométrica es ambigua [ref. 1].

Dentro del contexto anterior, existen otras dos medidas de aplanamiento y otra de excentricidad [ref. 1]:

• El segundo aplanamiento, f ' \= (a-b)/b, es la exsecante del ángulo;
• El tercer aplanamiento, f '' \= (a-b)/(a+b), es el havertan (la mitad de la tangente versada) del ángulo;
• La segunda excentricidad, ε' \= (a 2 -b 2 )/b 2 es la tangente del ángulo.

Existe al menos una extensión de estos dos conjuntos (un elemento bastante difícil de encontrar, al parecer), un cuarto grado de aplanamiento y de excentricidad, respectivamente [ref. 2, pp. 2-3]:

• Este cuarto aplanamiento, μ ₀ \= (a 2 -b 2 )/b 2 ,
  • _nota que esto sería f ''' En la convención occidental establecida_ ;
• Esta cuarta excentricidad, e ₀ \= $\surd$ ((a 2 -b 2 )/ab),
  • _nota que esto sería ε''' En la convención occidental establecida_ .

Los 3 primeros aplanamientos siguen un patrón general de 2sin 2 (θ/2)/[denom.], donde el denominador en cada caso es {1, 1-numer., 2-numer.}; aún no he comprobado si el 4º aplanamiento sigue el mismo patrón con {3-numer.}. Las 3 primeras excentricidades siguen un patrón bastante similar de pecado 2 (θ)/[denom.], donde el denominador en cada caso es también {1, 1-numer., 2-numer.}. Tengo no aún así, se ha comprobado que los denominadores continúan de la misma manera, con {4-numer., ..., n-numer.,...}.

También puedes observar que los cuatro primeros denominadores son {a, b, (a+b)*0,5, ab 0.5 }. Si este patrón continúa hasta un quinto grado a través de la tetración de 0,5, y mucho menos órdenes superiores de hiperoperación (de 0,5, espero), yo no aún lo saben.

Si encuentro datos sobre el patrón de los denominadores, y/o el de la hiperoperación creciente, entonces volveré con la(s) actualización(es).

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Referencias:

1. http://wiki.gis.com/wiki/index.php/Angular_eccentricity
2. https://zenodo.org/record/32854/files/ganshin69.pdf
   • " Geometría del elipsoide terrestre ", Vladimir Nikolaevich Gan'shin, Moscú, 1967