Posibles pares de polinomios mínimos y polinomios característicos asociados a una transformación lineal

Question

Estoy tratando de abordar el siguiente problema:

Supongamos que $V$ es un espacio vectorial de dimensión $7$ sobre el campo de los números reales, y $T$ es una transformación lineal en $V$ que satisface $T^4 = I$ . Calcule los posibles polinomios mínimos de $T$ y el polinomio característico que acompaña a cada elección.

El problema es confuso porque sugiere que hay exactamente un polinomio característico asociado a una posible elección del polinomio mínimo, pero creo que no es el caso de esta transformación lineal en particular. Claramente, el polinomio mínimo divide $x^4 - 1$ por lo que podría ser $x^4 - 1$ (la dimensión de $V$ es $7$ ) que se descompone como $(x^2 + 1)(x + 1)(x - 1)$ . A partir de aquí no es difícil ver que hay varios polinomios característicos que van con esta elección de polinomio mínimo. ¿Estoy en lo cierto o se me escapa algo?

Answer 1

Tiene razón en su afirmación de que para algunos de los casos posibles para el polinomio mínimo de $T$ el polinomio característico de $T$ no está determinada de forma única, sin embargo en cada uno de estos casos, el polinomio característico de $T$ se limita a una forma específica.

Considere cada caso por separado. . .

• Si el polinomio mínimo de $T$ es $x-1$ entonces $T=I$ por lo que el polinomio característico es $(x-1)^7$ . $\\[8pt]$
• Si el polinomio mínimo de $T$ es $x+1$ entonces $T=-I$ por lo que el polinomio característico es $(x+1)^7$ . $\\[8pt]$
• Si el polinomio mínimo de $T$ es $x^2-1$ entonces el polinomio característico no es único, sino que tiene la forma única $$(x+1)^k(x-1)^{7-k}$$ para algún número entero $k$ con $1\le k\le 6$ . $\\[8pt]$
• Dado que el polinomio característico de $T$ tiene grado $7$ debe tener una raíz real, por lo que el polinomio mínimo no puede ser $x^2+1$ . $\\[8pt]$
• Si el polinomio mínimo de $T$ es $(x^2+1)(x-1)$ entonces el polinomio característico no es único, sino que tiene la forma única $$(x^2+1)^k(x-1)^{7-2k}$$ para algún número entero $k$ con $1\le k\le 3$ . $\\[8pt]$
• Si el polinomio mínimo de $T$ es $(x^2+1)(x+1)$ entonces el polinomio característico no es único, sino que tiene la forma única $$(x^2+1)^k(x+1)^{7-2k}$$ para algún número entero $k$ con $1\le k\le 3$ . $\\[8pt]$
• Si el polinomio mínimo de $T$ es $(x^2+1)(x+1)(x-1)$ entonces el polinomio característico no es único, sino que tiene la forma única $$(x^2+1)^j(x+1)^k(x-1)^{7-(2j+k)}$$ para algunos enteros $j,k$ con $1\le j\le 2$ y $1\le k\le 6-2j$ .

Esto completa el análisis del caso.

Basándome en los resultados anteriores, sospecho que el previsto La redacción del problema era algo así como

Supongamos que $V$ es un espacio vectorial de dimensión $7$ sobre el campo de los números reales, y $T$ es una transformación lineal en $V$ que satisface $T^4 = I$ . Encuentra todas las posibilidades del polinomio mínimo de $T$ y para cada caso, determinar las posibles formas del polinomio característico.