En lo que $precise$ sentido el espacio de Minkowski es asintóticamente plano?

Question

He traído esta pregunta desde el intercambio de pilas de física, donde no generó interés.

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Decimos que un colector $(M,g)$ es conformemente compacto si es el interior de algún $(\overline M, \overline g)$ , de tal manera que $$g = r^{-2}\overline g|_M,\quad \mathcal Z(r) = \partial M,\quad \text{and}\quad \mathrm{d}r_p \neq 0\ \text{for any}\ p\in \partial M.$$ Además, decimos que una variedad conformemente compacta es asintóticamente plana si $|\mathrm{d} r|^2_{\overline g}\equiv 0$ en la frontera. (Es decir, la primera derivada de la función definitoria es nula en la frontera).

Es "bien sabido" que el espacio de Minkowski es una variedad asintóticamente plana; la famosa compactación de Penrose supuestamente lo demuestra. Sin embargo, en su compactación, hay dos puntos en la frontera para los que $\mathrm{d}r_p = 0$ : a saber, el infinito espacial y temporal. He hecho mis propias compactaciones libres de coordenadas del espacio de Minkowski, pero también tienen algunas singularidades en el infinito conforme.

¿Cómo se formaliza esto? Cuando en la literatura se dice "conformemente compacto", ¿se quiere decir simplemente que "hay un subconjunto denso de la frontera que satisface las condiciones anteriores"?

Answer 1

La definición que yo daría de la planitud asintótica es la siguiente:

Un espaciotiempo orientable en el tiempo $(M,g)$ es asintóticamente plana en el infinito nulo si existe un espaciotiempo $(\bar{M},\bar{g})$ tal que,

1. existe una función positiva $\Omega:M\rightarrow \mathbb{R}$ tal que $(\bar{M},\bar{g})$ es una extensión del espaciotiempo $(M,\Omega^2g)$ . Por lo tanto, si consideramos $M\subset \bar{M}$ entonces $\bar{g}=\Omega^2g$ en $M$ .

2. en $\bar{M}$ M puede extenderse a una colector con límite $\partial M$ .

3. $\Omega$ puede extenderse a una función sobre $\bar{M}$ tal que $\Omega|_{\partial M}=0$ y $d\Omega \neq 0$ en $\partial M$ .

4. $\partial M=\mathcal{I}^+\sqcup \mathcal{I}^-$ donde $\mathcal{I}^{\pm}$ son difeomorfos a $\mathbb{R}\times \mathbb{S}^2$ .

5. No hay curva causal dirigida en el pasado (futuro) a partir de $M$ se cruza con $\mathcal{I}^+$ ( $\mathcal{I}^-$ ) respectivamente.

6. $\mathcal{I}^{\pm}$ son completas: bajo la condición de calibre $(\nabla_a\nabla_b\Omega)=0$ en $\mathcal{I}^{\pm}$ los generadores de $\mathcal{I}^{\pm}$ están completos. ( $\nabla_{a}$ es la Levi-Civita asociada a $\bar{g}$ ).

Debería ser relativamente fácil demostrar que la compactación conforme del espaciotiempo de Minkowski satisface la definición que he dado aquí.

Un punto de interés, se puede demostrar que un espaciotiempo que satisface esta definición "se parece" al espaciotiempo de Minkowski "de lejos". Es decir, si se calcula la métrica en una vecindad del infinito nulo, la contribución de primer orden se parece al espaciotiempo de Minkowski. Esta es la afirmación que formaliza esta definición.

Tenga en cuenta que esta definición está semillevada de los apuntes de la conferencia de Harvey Reall sobre los agujeros negros, que a su vez se basan en gran medida en Wald y Hawking y Ellis. Creo que esta definición está en Wald.