Continuación analítica de una solución de una EDO

Question

Suponga que tiene $f'(z)= A(z) f(z)$ donde $ f: U \to \mathbb{C}^n$ (Deja que $U$ sea un subconjunto conectado abierto del plano complejo) y $ A$ es una matriz tal que $A_{i,j} : U \to \mathbb{C}$ funciones holomorfas.

¿Es obvio que si te doy una curva completamente acostada en $U$ ¿se puede encontrar siempre una continuación analítica a lo largo de la curva de cada solución local alrededor de su punto base? Si es así, ¿por qué? También, ¿por qué los valores al principio y al final de la función a lo largo de la curva dependen sólo de la clase de homotopía de este camino? He encontrado muchas cosas sobre la continuación analítica del germen de las funciones en la superficie de Riemann, pero todavía nada sobre esta cosa. Gracias

Answer 1

No se puede esperar que ocurra nada bueno a menos que la curva se encuentre en $U$ . En ese caso, tal y como has planteado la pregunta, ya tienes una solución global. Pero sí, si tuvieras una solución local podrías continuarla a lo largo de cualquier curva en $U$ , simplemente usando la existencia para la ecuación diferencial para ir un poco más lejos de lo que has ido hasta ahora.

(Pero digamos $n=1$ , $U=\Bbb C\setminus\{0\}$ , $f(z)=1/z$ cerca de algún punto y $A=-1/z$ . Ciertamente no puedes continuar $f$ a lo largo de una curva que pasa por el origen...)