Una función que puede ser "extendida" a otra función

Question

¿A qué se refieren cuando dicen que una función puede o no puede "extenderse" a otra función? No entiendo bien la terminología. ¿Qué significa "extendida" en este caso? Quiero demostrar que una función continua acotada no siempre puede extenderse a una función continua, pero no sé qué significa esto.

¿Puede alguien aclarar esto? Gracias.

Answer 1

A veces decimos algo como $\sum_{n=0}^{\infty}x^n$ puede ampliarse a $\frac{1}{1-x}$ . A diferencia de $$\sum_{n=0}^{\infty}x^n= \frac{1}{1-x}$$ porque las expresiones a ambos lados del signo igual tienen dominios diferentes. ¿Cómo pueden ser iguales las cosas si tienen propiedades diferentes?

Así que en este sentido podemos decir $f$ definido en un dominio $d$ puede ampliarse a $g$ en el dominio $D$ un superconjunto de $d$ cuando

$g(x)=f(x)$ para todos $x\in d$ . No creo (y podría estar equivocado) que "ampliado" tenga realmente otro significado a menos que se indique.

Así, por ejemplo, dejemos que $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}x^n$ y luego dejar que $g(x)=\begin{cases} \frac{1}{1-x} \mbox{ when } |x|<1 \\ h(x) \mbox{ when } |x|\ge 1 \end{cases}$ .

Así que entonces $g(x)$ debería llamarse una extensión de $f$ independientemente de cómo elijamos $h$ pero parece que la gente utiliza diferentes adjetivos para describir estas extensiones. Tomando $h(x)=1/(1-x)$ podría llamarse la extensión natural. La gente utiliza términos como extensión "analítica" o extensión "continua" para describir con mayor precisión la extensión que buscan.