Inducción - por qué permitimos $k=1$ en el segundo paso?

Question

Una vez demostrado que la propiedad es válida para el primer caso (la mayoría de las veces 1), en el segundo paso tenemos que suponer que es cierta para algún $k \ge 1$ . Por qué no $k>1$

Answer 1

Si se continúa la prueba será algo así: Supongamos que la afirmación es verdadera para algunos $k \geq 1$ entonces queremos demostrar que se cumple para $k+1$ . Tomando sólo $k>1$ estás demostrando que la afirmación es válida para $k+1>2$ Así que te has perdido el caso en el que $k+1=2$ .

Answer 2

Suponga que toma $k > 1$ . Así que para algunos $k > 1$ usted demuestra que "si $P(k)$ es verdadera, entonces $P(k+1)$ también es cierto".

Esto significa que puede utilizar la siguiente cadena de implicaciones:

• Si $P(2)$ es verdadera, entonces $P(3)$ es cierto.
• Si $P(3)$ es cierto, entonces $P(4)$ es cierto.
• Si $P(4)$ es cierto, entonces $P(5)$ es cierto.
• etc.

Sin embargo, para iniciar esta cadena hay que empezar en $k = 2$ ya que el primer paso de la cadena dice:

• Si $P(2)$ es verdadera, entonces $P(3)$ es cierto.

Ahora, usted mencionó que comenzó su prueba mostrando que $P(1)$ es cierto. Esto se vuelve inútil porque no se puede utilizar para iniciar la cadena. Lo que falta en tu cadena es el paso:

• Si $P(1)$ es verdadera, entonces $P(2)$ es cierto.

Puede añadir esta parte a su cadena asumiendo $k \geq 1$ en el paso de inducción. Entonces la cadena de implicaciones se convierte en

• Si $P(1)$ es cierto, entonces $P(2)$ es cierto.
• Si $P(2)$ es cierto, entonces $P(3)$ es cierto.
• Si $P(3)$ es cierto, entonces $P(4)$ es cierto.
• Si $P(4)$ es verdadera, entonces $P(5)$ es cierto.
• etc.

y puede utilizar $P(1)$ para iniciar la cadena.

Answer 3

Es porque si no se pierde la conexión con el primer caso. La idea es que, en principio, deberías poder pasar del primer caso a cualquier número entero.

Si no se asume que sólo es válido para algunos $k>1$ y demostrar que es válido para $k+1$ entonces ese paso sólo sería válido si se pasa de $2$ y superior.

Para el contraejemplo en el que esto va mal podríamos considerar la declaración $P(n): n\ne 2$ . Primero desde $1\ne2$ tenemos que $P(1)$ es cierto. Ahora supongamos que $P(k)$ es cierto para algunos $k>1$ entonces $k+1>2$ así que $k+1\ne 2$ . Esto significaría que todos los enteros positivos son diferentes de $2$ (lo que obviamente no es cierto).