Pregunta sobre las consecuencias de los axiomas de Kolmogorov

Question

Estoy leyendo el (alemán) Estadística aplicada y en la página 140 como consecuencia de los axiomas de Kolmogorov se afirma que si $P(A)=0$ no se puede concluir que $A=\emptyset$ . Del mismo modo, si $P(A)=1$ tampoco se puede concluir que $A=S$ . ¿Por qué?

Además, si $P(A)=0$ esto significa que el evento A es casi nunca posible y si $P(A)=1$ casi seguramente ocurrir.

Me cuesta un poco intuir la necesidad de las afirmaciones anteriores ( casi seguramente o casi nunca ) y por qué si $P(A)=1$ un no puede concluir que $A=S$ .

[edición borrada]

Answer 1

Sea X una variable aleatoria normal estándar con $S=(-\infty,\infty)$ . Aquí, $P(X=1)=0$ pero $\{1\}\neq \emptyset$ .

Para demostrar que $P(A)=1$ no implica que $A=S$ Considera lo siguiente. Se lanza una moneda un número infinito de veces. El caso de obtener todas las cabezas $\{H,H,H,H,...\}$ está en el espacio muestral porque es físicamente posible que nunca aparezcan colas. Ahora, dejemos que $A = \{\text{flip at least one heads in the infinite flips}\}\neq S$ . Sin embargo, $P(A) = 1 - P(\text{all tails in the infinite flips}) = 1 - (.5)^{\infty} = 1$ .

Answer 2

Tome la distribución uniforme en $S=[0,1]$ . Ahora, $P[S]=1$ pero también $P[S\setminus \{1\}]=1$ y $P[S \setminus \{1,1/2,1/3,\ldots\}] = 1$ aunque estos dos últimos son subconjuntos estrictos de $S$ . (Aquí la notación $A \setminus B$ significa todos los elementos que pertenecen al conjunto $A$ y que no pertenece a $B$ .)

Para responder a la parte casi segura de su pregunta:

si P(A)=0 significa que el evento A casi nunca es posible y si P(A)=1 ocurrirá casi con seguridad.

Creo que lo has entendido mal: "casi seguro" se define como $P(A)=1$ .

Para comprender plenamente los entresijos y las sutilezas de las definiciones, es útil estar familiarizado con la teoría de las medidas. Véase, por ejemplo, el Conjunto Cantor que tiene medida ["longitud"] cero pero contiene un número incontablemente infinito de puntos, comparado con cualquier intervalo de la recta real $(a,b)$ que tiene de nuevo un número incontablemente infinito de puntos pero una medida no nula $b-a$ .

Dado que trabajas en estadística aplicada, estos complicados conjuntos son probablemente irrelevantes para ti, así que no me preocuparía por ello (¡es sólo algo que a los autores les gusta poner!).

Answer 3

Siguiendo los argumentos de @TrynnaDoStat:

Dejemos que $X$ sea una distribución aleatoria normal, y por tanto $X$ tiene soporte en todo $\mathbb{R}$ . $P(X=1) = 0$ pero $\{1\} \neq \emptyset$

Entonces, utilizando el principio de que $P(\Omega \backslash E) = 1 - P(E)$

$P(X \in \mathbb{R} \backslash $ {1} $) = 1 - 0 = 1$ pero $\mathbb{R} \backslash \{1\} \neq \mathbb{R}$