Calcular la parametrización de la longitud de arco de una curva en términos de s(u)

Question

Consideremos la curva parametrizada r (u)=(5+u, 4u+7, 3u). ¿Cuál de las siguientes funciones es la parametrización de la longitud de arco de la curva que parte de s=0 en el punto (4,3,-3) de la curva?

He calculado r '(u)= (1,4,3) y por tanto || r '(u)||=√ 26.

Sin embargo, estoy confundido sobre qué hacer a continuación para encontrar s (u). Entiendo que debería haber algún tipo de integración a continuación wrt u y que daría [√ 26*u].

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

El arco comienza desde $r(0)$ y termina en $r(-1)=(4, 3, -3)$ . Por lo tanto, la longitud de arco con signo es el valor de la integral $$\int_0^{-1} \lvert r'(u)\rvert\,du=\int_0^{-1} \sqrt{26}\,du=-\sqrt{26}$$ Del mismo modo, al calcular el área de las regiones delimitadas por las gráficas de las funciones, la integral definida toma valores con signo. En cualquier caso, la longitud de arco es $\sqrt{26}$