Subaditividad de la $n$ raíz del volumen de $r$ -vecinos de un conjunto

Question

Dejemos que $A$ sea un subconjunto cerrado de $\mathbb{R}^n$ . Para $r>0$ , dejemos que $A_r$ sea el $r$ -vecino de $A$ , es decir, el conjunto $\{x:\operatorname{dist}(x,A)\le r\}$ . Dejemos que $f(r) = \mu(A_r)^{1/n}$ donde $\mu$ es la medida de Lebesgue.

¿Es la función $f(r)/r$ ¿disminuyendo?

Motivación

Anteriormente pregunté sobre Concavidad del $n$ raíz del volumen de $r$ -vecinos de un conjunto donde la respuesta resultó ser negativa. Pero el contraejemplo de George Lowther todavía tiene $f(r)/r$ disminuyendo. Geométricamente, esta propiedad significa que la gráfica de $f$ se encuentra por encima de la línea que pasa por $(0,0)$ y $(r,f(r))$ . Aunque es más débil que la concavidad, ya es una propiedad útil: implica la desigualdad diferencial $f'(r)\le f(r)/r$ así como la subaditividad $f(x+y)\le f(x)+f(y)$ . Esto último se deduce al comparar $f$ a la línea secante a través de $(0,0)$ y $(x+y,f(x+y))$ .

Entre otras cosas, el resultado anterior simplificaría la prueba aquí . En cuanto a las ideas para su propia demostración, espero que esta vez se pueda utilizar la desigualdad de Brunn-Minkowski.

Answer 1

Sí, es cierto. $r^{-n}\mu(A_r)$ está disminuyendo en $r$ .

Haciendo límites, basta con demostrarlo para $A$ finito. En ese caso, para cada $a\in A$ , dejemos que $S_r(a)$ sea el conjunto de puntos $p\in\mathbb{R}^n$ con $\lVert p-a\rVert=r$ y $\lVert p-b\rVert > r$ para todos $b\in A\setminus\{a\}$ . Es decir, $S_r(a)$ es el conjunto de puntos de la frontera de $A_r$ que están más cerca de $a$ que los demás elementos de $A$ . A continuación, establezca $C_r(a)=\{(1-\lambda)a+\lambda p\colon\lambda\in[0,1],p\in S_r(a)\}$ . Los elementos de $C_r(a)$ están a una distancia $r$ de $a$ Así que $C_r(a)\subseteq A_r$ . Configuración $B_r=A_r\setminus\bigcup_{a\in A}C_r(a)$ , $$ A_r=B_r\cup\bigcup_{a\in A}C_r(a). $$ De hecho, se trata de una unión disjunta. Si $a\not=b$ y $C_r(a)\cap C_r(b)\not=\emptyset$ entonces, para algunos $p\in S_r(a)$ , $q\in S_r(b)$ los segmentos de línea $ap$ y $bq$ se cruzan en un punto $c$ dando la contradicción \begin{align} 2r & < \lVert p-b\rVert+\lVert q-a\rVert\\ &\le\lVert p-c\rVert+\lVert c-a\rVert+\lVert q-c\rVert+\lVert c-b\rVert\\ &=\lVert p-a\rVert+\lVert q-b\rVert=2r. \end{align} A continuación, si $t > 1$ entonces, $$ A_{tr}\subseteq B_r\cup\bigcup_{a\in A}\left(tC_r(a)+(1-t)a\right). $$ Para ver esto, dejemos $p\in A_{tr}$ y que $a\in A$ minimizar $\lVert p-a\rVert\le tr$ . Si $\lVert p-a\rVert\le r$ entonces $p\in A_r$ que se encuentra en el lado derecho de la inclusión anterior. Si $\lVert p-a\rVert > r$ , entonces dejemos que $c$ sea el punto del segmento de recta $ap$ a distancia $r$ de $a$ . Si cualquier $b\in A\setminus\{a\}$ está a una distancia $r$ de $c$ entonces $$ \lVert p - b\rVert < \lVert p - c\rVert + \lVert c - b\rVert\le\lVert p - c\rVert + \lVert c - a\rVert=\lVert p - a\rVert $$ contradiciendo la elección de $a$ . Así que, $c\in S_r(a)$ . Entonces, $t^{-1}p+(1-t^{-1})a$ está en el segmento de línea $ac$ y está en $C_r(a)$ . Por lo tanto, $p\in tC_r(a)+(1-t)a$ . Por lo tanto, $$ \mu(A_{tr})\le\mu(B_r)+\sum_{a\in A}t^n\mu(C_r(a)) \le t^n\mu(B_r)+\sum_{a\in A}t^n\mu(C_r(a)) =t^n\mu(A_r). $$ Así que, $t^{-n}\mu(A_{tr})\le\mu(A_r)$ , demostrando que $r^{-n}\mu(A_r)$ está disminuyendo en $r$ .