Existencia de la doble integral

Question

La transformada de Fourier de tiempo corto se obtiene mediante la fórmula

$$Sf(u,\epsilon)=\int_\mathbb{R}f(t)g(t-u)e^{-i\epsilon t}dt$$

donde $f,g \in L^2(\mathbb{R})$ son la señal y la ventana respectivamente:

y la fórmula de reconstrucción viene dada por

$$f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R}Sf(u,\epsilon)g(t-u)e^{i\epsilon t}d\epsilon du$$ .

Mi problema es: actualmente no veo por qué existe la parte derecha de la fórmula de inversión. Lo que se puede utilizar es que $Sf \in L^2(\mathbb{R}^2)$ y $g \in L^2(\mathbb{R})$ también. Huele a Cauchy Schwarz, pero no lo veo.

Si algo no está claro, por favor, hágamelo saber.

Answer 1

Básicamente voy a parafrasear el texto del recorrido de ondículas de Mallat donde puedes encontrar esta prueba. Puedes rellenar los huecos, hacerlo más riguroso, cambiar los supuestos, etc...

Voy a suponer que la función de la ventana, $g(t)$ es real, simétrica y tiene norma unitaria, es decir $g(t) \in \mathbb{R}$ , $g(t) = g(-t)$ y $||g||_2 = 1$ .

Utilizando la identidad de Parseval en la integral sobre $u$ tenemos:

$$ \int_{\mathbb{R}} Sf(u,\epsilon) g(t-u) du = \frac{1}{2\pi} \int_{\mathbb{R}} \widehat{Sf}(w,\epsilon) \hat{g}(w) e^{iwt} dw $$

A continuación, ten en cuenta que:

$$ Sf(u,\epsilon) = e^{-i\epsilon u}(f*g_{\epsilon})(u) $$

donde $g_{\epsilon}(u) = g(u) e^{i\epsilon u}$ para que..:

$$ \widehat{Sf}(w,\epsilon) = \hat{f}(w+\epsilon) \hat{g}(w) $$

Por último, tenemos al sustituir de nuevo: $$ \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}} Sf(u,\epsilon) g(t-u) e^{i\epsilon t} du d\epsilon = \frac{1}{(2\pi)^2} \int_{\mathbb{R}} \hat{g}(w)^2 \int_{\mathbb{R}} \hat{f}(w+\epsilon) e^{i(\epsilon +w)t} d\epsilon du = f(t) $$