Es $f(x)=x^2-4x$ ¿inyectiva y sobreyectiva?

Question

Si $f: A\to \mathbb{R}$ sea tal que $f(x) = x^2 - 4x$ , donde $A = \{x \mathbb{R}: x \ge 2\}$ .

¿Cómo puedo determinar si la siguiente función es inyectiva o sobreyectiva y tiene una inversa?

Aquí está mi intento: dominio: $\mathrm{dom} (f) = [2,\infty)$ , codominio: $(-\infty,\infty) = \mathbb R$ .

Dejemos que $a, b \in A$ . Entonces \begin{align} f (a) = f(b) &\Rightarrow a^2 - 4a = b^2 - 4b \\ &\Rightarrow a^2 - b^2 - 4a + 4b = 0 \\ &\Rightarrow(a + b)(a - b) - 4(a - b) = 0 \\ &\Rightarrow(a - b)(b - 4) = 0 \\ &\Rightarrow a - b = 0 \text{ or }a + b -4 = 0 \\ &\Rightarrow a = b \text{ or }a + b = 4. \end{align} Por lo tanto, f es inyectiva. Entonces me quedo atascado.

Answer 1

Estrategias típicas para demostrar o refutar la inyección y la sobreinyección con ejemplos

Para demostrar que $f$ es inyectiva, se empieza por suponer que $f(x_1)=f(x_2)$ donde $x_1,x_2 \in A$ y luego deducir mediante el álgebra que $x_1 = x_2$ .

Si $f$ no es inyectiva, entonces deberías ser capaz de encontrar dos puntos $x_1,x_2 \in A$ tal que $f(x_1)=f(x_2)$ pero $x_1 \neq x_2$ . En otras palabras, se buscan dos elementos distintos en el dominio de $f$ de manera que se envíen al mismo elemento del codominio por $f$ .

Un ejemplo de ello sería la función $\phi: [0,\infty) \rightarrow \mathbb{R}$ definido por $\phi(x) = \sqrt{x}$ . Esta función no es inyectiva, porque

$$\phi(-1) = \phi(1) \text{ but } -1 \neq 1$$

Para determinar si $f$ es suryente, elija un elemento arbitrario en el codominio de $f$ . Es decir, que $r \in \mathbb{R}$ .

A un lado, haz un poco de trabajo de raspado para encontrar el valor $a \in A$ de tal manera que cuando se enchufa $a$ en $f$ , se obtiene $r$ atrás.

Por ejemplo, supongamos que quiero demostrar que la función $\psi: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{Z}$ definido por $\psi(x) = 3x+5$ es suryente.

Elija un punto arbitrario $y$ en el codominio de $\psi$ a saber $\mathbb{Z}$ .

Seguí adelante e hice un trabajo de raspado para encontrar el valor de $x$ en el ámbito de $\psi$ , a saber $\mathbb{R}$ , de tal manera que $\psi(x) = r$ . Es decir, resolví $$\psi(x) = 3x + 5 = y$$ para $x$ y es $$ x = \frac{y-5}{3}$$ Entonces la prueba sería así: Sea $y \in \mathbb{Z}$ . Elija $x = \frac{y-5}{3}$ . Entonces \begin{align*} \psi(x) &= 3x + 5 \\[8pt] &= 3\bigg(\frac{y-5}{3}\bigg) + 5 \\[8pt] &= y \end{align*} Por lo tanto, $\psi$ es suryente.

Para refutar que una función $\rho$ es suryente, necesitamos encontrar un $y$ en el codominio tal que para todo $x$ en el dominio, la ecuación $\rho(x) \neq y$ .

Un ejemplo de esto sería en realidad $\phi$ arriba. Obsérvese que el codominio de $\phi$ es $\mathbb{R}$ Así que si eligiera un número negativo, por ejemplo $-7$ Entonces, yo habría $$\phi(x) = \sqrt{x} = -7$$ Sin embargo, no hay $x \in \operatorname{domain}(\phi)$ que hace que la ecuación anterior sea cierta. Es decir, existe un $y \in \operatorname{codomain}(\phi)$ tal que para todo $x \in \operatorname{domain}(\phi)$ tenemos $\phi(x) \neq y$ .

Por lo tanto, $\phi$ no es sobreyectiva.

Otra forma de ver el concepto de suryección es que el rango de la función es igual al codominio de la función.

También una función tiene una inversa si y sólo si la función es inyectiva y suryente. Así, $\phi$ no tiene una inversa, pero $psi$ lo hace (¿Por qué? Hemos demostrado que $\psi$ es sobreyectiva. Queda por demostrar que $\psi$ es inyectiva, lo que puede hacerse fácilmente utilizando la definición.

Algunas pistas para demostrar que su función no es inyectiva

Su prueba que demuestra que $f$ es inyectiva no funcionará, sin embargo, te muestra por qué no funciona.

Mira la ecuación $$a+b=4$$

A continuación, puede elegir distintos $a$ y $b$ cuyo sol es $4$ y supondrá que $f(a)=f(b)$ . Así, $f$ no es inyectiva.

Por ejemplo, podemos elegir $a=3.5$ y $b=0.5$ . Entonces $f(a)=f(b)=-1.75$ Así que $f$ no puede ser inyectiva.

Una pista para demostrar que su función no es suryectiva A menudo, cuando hay un cuadrado, soy escéptico de que la función sea suryente, especialmente cuando el codominio es $\mathbb{R}$ .

Así que mi consejo es que elijas $y=-5$ . Entonces demuestre que para $x \in A$ , $f(x) \neq -5$

Answer 2

HINT

Tenga en cuenta que para $x>2$

• $f'(x)=2x-4>0 \implies f$ es inyectiva

Entonces, observe que

• $x^2-4x+4=(x-2)^2\ge 0 \implies f(x)=x^2-4x\ge -4$

así $f(x)$ es suryectiva sólo en una restricción adecuada y en esa restricción es invertible.

Answer 3

No es suryectiva (y por tanto no tiene inversa)

La derivada de $f$ es $f'(x)=2x-4$ que es positivo para todos los $x\in A$ . De ello se desprende que $f$ es una función creciente. Como $f(2)=0$ tenemos que la función es no negativa. En particular $-1\not\in \text{Range} (f)$ lo que implica que $f$ no es sobreyectiva.

El mismo argumento con la derivada implica también que $f$ es inyectiva (porque es estrictamente monótona).

Answer 4

La gráfica de una cuadrática es una parábola y, por tanto, una cuadrática no puede ser ni inyectiva ni sobreyectiva.