Obviamente se puede dejar que el grupo diedro de orden 8 actúe sobre un cuadrado. ¿Cómo definir esta acción de forma matemáticamente correcta? Dado que el grupo diédrico deja invariante el cuadrado y sólo permuta las esquinas, ¿debo tomar el conjunto $M=\{(a,b,c,d)\mid 1\leq a,b,c,d\leq4\}$ ? Y entonces, es decir, para la rotación $r\star (1,2,3,4)=(4,1,2,3)$ ?
Respuesta
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Angel
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Una acción de grupo es simplemente un homomorfismo de grupo a partir de un grupo $G$ a un subgrupo de $\text{Sym}(X) \cong S_{|X|}$ . Parece que quieres un monomorfismo es decir, esencialmente "otra forma de describir $G$ ".
Desde $|D_4| = 8$ para obtener dicho monomorfismo, requerimos $|X| > 3$ . Así que expresando $D_4$ es una permutación de " $4$ algo" va a ser óptimo. ¿Qué aspectos (simétricos) de un cuadrado vienen de cuatro en cuatro?
Para entender mejor lo que quiero decir, hay que tener en cuenta que el cuadrado tiene dos diagonales, y que $D_4$ puede actuar sobre estas diagonales (¿cómo?). Si vemos $D_4$ como un subgrupo de $S_4$ ¿Cuáles son sus conclusiones sobre $D_4 \cap A_4$ ?
Uno de los comentarios sugiere que podría ver $D_4$ como un subgrupo de $\text{GL}_2(\Bbb R)$ . Para empezar cómo lo hace:
$\rho = \begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}$
actuar en el plató $X = \{(1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1)\}$ ?
