convergencia de la integral infinita

Question

Dada f(x) continua en $[0,\infty)$ y $$\int_0^\infty \left|f(x)\right|dx ~, ~ \int_0^\infty f^4(x)dx$$ converge, demuestre que $$\int_0^\infty f^2(x)dx$$ converge.

Mi motivación es demostrarlo:

Si $0 \le f(x) \le 1$ que $$f^2(x) \le \left|f(x)\right|$$

Si $1<f(x)$ que $$f^2(x) < f^4(x)$$

Aplicando la regla de comparación a ambos casos puedo concluir que $f^2(x)$ converge.

¿Cómo puedo mostrar esto formalmente? ¿Dividiendo en secciones? ¿Es esta la dirección correcta?

Answer 1

Sugerencia . Se puede dividir en secciones o señalar que en ambos casos $f^2 \le f^4 + |f|$ (como $f^4, |f| \ge 0$ ).