El enunciado de la teoría de los números es .....

Question

Demostrar o refutar :

Existe $A\subset\mathbb{N}$ con exactamente CINCO elementos, tal que la suma de tres elementos cualesquiera de $A$ es un número primo.

No tengo ningún indicio o idea para demostrar o refutar la afirmación anterior. Ni siquiera sé si la afirmación es cierta o no.

¿Puede alguien orientarme sobre cómo abordar este problema?

Answer 1

Consideremos los residuos de los elementos $\pmod 3$ . Obsérvese que si tenemos $a_1 \equiv 0 \pmod 3, a_2 \equiv 1 \pmod 3, a_3 \equiv 2 \pmod 3$ entonces hemos terminado - su suma es divisible por 3. Así que sólo dos de los residuos $\pmod 3$ puede estar presente.

Pero por el principio de encasillamiento, eso significa que al menos $\left\lceil\frac{5}{2}\right\rceil = 3$ de estos elementos tienen el mismo residuo $\pmod 3$ . Entonces su suma es divisible por $3$ . Por lo tanto, no existe tal conjunto.

(Para ser un poco más precisos, ya que el $a_i$ son distintos, su suma debe ser al menos $6$ si toma $0 \notin \mathbb{N}$ . Si considera que $0 \in \mathbb{N}$ Entonces, técnicamente podrías tener $0,1,2$ todos sean elementos para obtener esta suma. En este caso, tendríamos entonces $a_4 + 0 + 1$ y $a_4 + 0 + 2$ son ambos primos, lo cual es una contradicción ya que uno es par y estrictamente mayor que $2$ .)