Serie de Hilbert de un producto tensorial

Question

Dejemos que $k$ sea un campo. Sea $A,U,V$ sea $\mathbb{N}$ -graduado-comutativo $k$ -algebras. Supongamos que existen mapas algebraicos homogéneos $A\rightarrow U$ y $A\rightarrow V$ dando $U$ y $V$ la estructura de la gradación $A$ -para que el producto tensorial $U\otimes_AV$ se define.

Recordemos que la serie de Hilbert de un gradiente $k$ -espacio vectorial $W=\bigoplus_{i\in\mathbb{N}}W_i$ es $H_W(t)=\sum_{i=0}^\infty\mathrm{dim}_k\;W_it^i$ .

Mi pregunta es la siguiente:

¿Existe una fórmula que relacione la serie $H_{U\otimes_AV}(t), H_A(t), H_U(t), H_V(t)$ ?

Creo que puedo demostrar que si los mapas $A\rightarrow U$ y $A\rightarrow V$ son inyectivas, entonces

$H_{U\otimes_AV}(t)=\frac{H_U(t)H_V(t)}{H_A(t)}$ .

Me preguntaba si existe una fórmula general para $H_{U\otimes_AV}(t)$ o si la fórmula anterior se cumple bajo hipótesis más generales.

Answer 1

(En esta respuesta siempre requeriré tácitamente que todos los objetos graduados considerados sean de dimensión finita en cada grado y estén acotados por debajo, para que las series de Hilbert estén definidas).

La fórmula $$H_{U\otimes_AV}(t)=\frac{H_U(t)H_V(t)}{H_A(t)}$$ no es necesariamente cierto aunque los mapas $A\to U$ y $A\to V$ son inyectivas. Por ejemplo, consideremos el caso en que $A=k[x]/(x^2)$ (con $|x|=1$ , digamos) y $U=V=A\times A/(x)$ . Entonces $H_A(t)=1+t$ y $H_U(t)=H_V(t)=2+t$ así que $$\frac{H_U(t)H_V(t)}{H_A(t)}=\frac{(2+t)^2}{1+t}$$ no es un polinomio, mientras que $U\otimes_A V$ es obviamente de dimensión finita por lo que su serie de Hilbert es un polinomio.

Lo que sí es cierto es que $$H_{U\otimes_AV}(t)=\frac{H_U(t)H_V(t)}{H_A(t)}$$ si $A$ está conectado (es decir, $A_0=k$ ) y $U$ o $V$ es plano en $A$ (y es irrelevante que $U$ y $V$ son álgebras; esto funciona para cualquier gradación $A$ -que satisfacen las condiciones de finitud necesarias para que la serie de Hilbert esté definida). En efecto, supongamos $U$ es plana sobre $A$ . Tome una resolución gratuita $$\dots\to F_2\to F_1\to F_0\to V\to 0$$ de $V$ como un grado $A$ -donde cada $F_n$ se concentra en grados $\geq n$ (esto es posible ya que $A$ está conectado, para que pueda elegir $F_0\to V$ sea inyectiva en grado $0$ y luego $F_1\to\ker(F_0\to V)$ sea inyectiva en grado $1$ y así sucesivamente). Nótese que esta condición implica que $$H_V(t)=\sum_i(-1)^iH_{F_i}(t),$$ ya que la resolución es finalmente $0$ en cada grado individual. Ahora se tensa esta resolución con $U$ para obtener una secuencia exacta $$\dots\to U\otimes_A F_2\to U\otimes_A F_1\to U\otimes_A F_0\to U\otimes_A V\to 0.$$ De nuevo, esta secuencia es eventualmente $0$ en cada grado individual y así $$H_{U\otimes_A V}(t)=\sum_i(-1)^iH_{U\otimes_A F_i}(t).$$ Pero $H_{U\otimes_A F_i}(t)=\frac{H_U(t)H_{F_i}(t)}{H_A(t)}$ desde $F_i$ es gratis, así que $$H_{U\otimes_A V}(t)=\sum_i(-1)^i\frac{H_U(t)H_{F_i}(t)}{H_A(t)}=\frac{H_U(t)}{H_A(t)}\sum_i(-1)^iH_{F_i}(t)=\frac{H_U(t)H_V(t)}{H_A(t)}.$$

En general, si $U$ no es plana, la secuencia $$\dots\to U\otimes_A F_2\to U\otimes_A F_1\to U\otimes_A F_0\to U\otimes_A V\to 0$$ puede no ser exacta, sino que tendrá una homología dada por $\operatorname{Tor}^i_A(U,V)$ por lo que en su lugar obtendríamos $$\sum_i (-1)^iH_{\operatorname{Tor}^i_A(U,V)}(t)=\frac{H_U(t)H_V(t)}{H_A(t)}.$$