Pregunta relacionada con el teorema de Cayley

Question

En la teoría de grupos, vimos que si $G$ es un grupo sobre un conjunto $X$ , entonces podemos incrustar $G$ en $S_X$ , donde $S_X$ es el grupo de permutaciones en $X$ es decir, existe un homomorfismo inyectivo $G \hookrightarrow S_X$ (Teorema de Cayley). Del mismo modo, en el análisis real, vimos que podemos incrustar isométricamente cualquier espacio métrico $(M,d)$ en otro espacio métrico $(\hat{M},\hat{d})$ donde la imagen de $M$ bajo nuestra isometría es densa en $\hat{M}$ . Pero estos hechos se demostraron de forma similar. Para los grupos, mapeamos cada $g \in G$ a $g \mapsto \sigma_g$ donde $\sigma_g$ se define como $\sigma_g(x) = gx$ . Para los espacios métricos, fijamos $a \in M$ y mapear cada $x \in M$ a $x \mapsto f_x$ donde $f_x(y) = d(x,y) - d(a,x)$ . A continuación, los resultados deseados.

¿Ocurre algo más general o es sólo una coincidencia que estos resultados se demuestren de forma similar?

Answer 1

El fenómeno general que se describe aquí se llama currying . Tiene una función $f : X \times Y \to Z$ con dos entradas y una salida, y fijando una entrada se puede asociar a cada $x \in X$ una función $f(x, -) : Y \to Z$ . En otras palabras, $f$ también describe una función $X \to Z^Y$ (donde $Z^Y$ denota el conjunto de funciones $Y \to Z$ ). Este es un patrón común en las matemáticas y es bueno entenderlo y acostumbrarse a él; se repite constantemente.

En el primer ejemplo, la función que se cursa es la acción, considerada como una función $G \times X \to X$ . La función currificada es una función $G \to X^X$ . En el segundo ejemplo, la función que se cursa es la métrica, considerada como una función $M \times M \to \mathbb{R}$ . La función currificada es una función $M \to \mathbb{R}^M$ (y luego se le añade una segunda función).