¿Por qué son correctas las dimensiones de la velocidad de escape?

Question

¿Cómo funciona esta fórmula, desde la perspectiva del análisis dimensional?

$$ v_\text{escape} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$$

La forma en que lo estoy pensando es que $G$ está en unidades $\text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2$ . Se multiplica por una cantidad de kilogramos (la masa) para convertir $G$ en unidades $N \cdot \text{m}^2/\text{kg}$ . Luego se divide por el radio del objeto a girar $G$ en unidades $N \cdot \text{m}/\text{kg}$ .
Sin embargo, $v_\text{escape}$ está en unidades $\text{m}/\text{s}$ .
$\sqrt{N \cdot \text{m}/\text{kg}} \neq \text{m}/\text{s}$ . Por lo tanto, ¿cómo funciona la ecuación si las unidades de cada lado no son iguales? ¿O estoy haciendo todo esto mal?

Answer 1

Newton no es una unidad fundamental del SI:

$$\mathrm N=\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm m}{\mathrm s^2}.$$

Así que, de hecho:

$$\frac{\mathrm N\cdot\mathrm m}{\mathrm{kg}}=\frac{\mathrm m^2}{\mathrm s^2},$$

cuya raíz cuadrada tiene las unidades de velocidad.

Answer 2

Te olvidas de que $\mathrm{N} = \mathrm{kg}\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2.$