Usando las reglas que prueban que la suma de todos los números naturales es $-\frac{1}{12}$, ¿cómo puedes demostrar que la serie armónica diverge?

Question

Creo que entiendo intuitivamente cómo podemos asignar un valor a la suma de todos los números naturales. Pero de todas las pruebas que he visto que muestran por qué $\zeta(-1) = -\frac{1}{12}$, ninguna de ellas utiliza sus propias tácticas para abordar la divergencia de la suma armónica.

Para dar un ejemplo de lo que quiero decir, echa un vistazo a una de las pruebas más famosas para la suma de los números naturales: $$ c = 1 + 2 + 3 + 4 + ... \\ 4c = 4 + 8 + 12 + 16 + ... \\ -3c = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - ... \\ 1 - 2 + 3 - 4 + ... = \left.\frac{1}{(1 + x)^2}\right|_{x=1} = \frac{1}{4} \\ -3c = \frac{1}{4} \\ c = -\frac{1}{12} $$

Si estuvieras considerando encontrar un valor para $c$ teniendo en cuenta la convergencia, te detendrías inmediatamente en la primera línea de esa prueba. Claramente, $c = \infty$, no hay duda al respecto. Sin embargo, si continuamos con la prueba, usando manipulaciones algebraicas que parecerían absurdas para cualquiera que considere la convergencia, terminamos con $c = -\frac{1}{12}$.

Entonces obviamente no queremos decir que la suma de los números naturales converge a $-\frac{1}{12}$, sino más bien que si $c$ fuera algún número, tendría que cumplir las propiedades algebraicas dadas ($-3c = \frac{1}{4}$).

Esta idea de continuación analítica tiene sentido para mí, pero lo que no tiene sentido para mí es por qué no se puede aplicar a la suma armónica. Si ignoráramos por completo la convergencia de $\sum_{k=1}^\infty{\frac{1}{k}}$ como hicimos anteriormente, ¿hay manipulaciones algebraicas que podríamos aplicar a la suma que nos permitan asignarle un valor? ¿Por qué no podemos simplemente definir $H = \sum_{k=1}^\infty{\frac{1}{k}}$ como un número que tiene ciertas propiedades algebraicas, como hicimos con la suma de los números naturales? ¿Puedes probar que $H$ debe ser $\infty$ usando el mismo proceso que arriba?

Answer 1

Dejando $$ H=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots $$ y asumiendo convergencia, tenemos $$ 0=H-2\cdot\frac{1}{2}H=\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots\right) - 2\cdot\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\ldots\right)=\\1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\ldots=\ln 2. $$ Dado que esto es una contradicción, la suma debe divergir.

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Actualización.

Para ser más claro acerca de lo que estoy diciendo aquí... No estoy diciendo que no haya forma de asignar un valor a la serie armónica. Claramente hay cualquier cantidad de formas, algunas más tontas y arbitrarias que otras. Llama a una función parcial $S$ de secuencias infinitas a números reales o complejos un método de sumación si $S(\{a_i\})$ está definido y es igual a $\sum_{i=1}^{\infty}a_i$ siempre que la suma converja (en el sentido usual); y di que $\{a_i\}$ es $S$-sumable si $S(\{a_i\})$ está definido. Hay un número de propiedades que puedes querer que tu método de sumación preserve de la sumación ordinaria. Por ejemplo, quizás quieras que permanezca lineal: $$S(\{ \alpha a_i + \beta b_i \})=\alpha S(\{a_i\}) + \beta S(\{b_i\})$$ siempre que $\{a_i\}$ y $\{b_i\}$ sean $S$-sumables. También puedes querer que permanezca estable bajo inserción de ceros: si $J:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ es creciente y $\{a_i\}$ es $S$-sumable, entonces $S(\{a'_i\})=S(\{a_i\})$, donde $a'_{J(i)}=a_i$ y $a'_i=0$ para $i\not\in J^{-1}(\mathbb{N})$. No he dicho nada sobre continuación analítica o cualquier otra regularización exótica que quieras considerar. Pero lo que estoy diciendo, arriba y en los comentarios, es que ningún método de sumación bajo el cual sea sumable tanto la serie armónica como $1+2+3+\ldots$ puede ser a la vez lineal y estable.

Ahora, hay una forma más débil de estabilidad (bajo inserción de solo finitos ceros) que puedes preservar al hacer la suma de la serie armónica, pero no al hacer la suma de $1+2+3+\ldots$ Por lo tanto, en ese sentido específico, la última serie (!) es más patológica. Para sumar los números naturales, debes renunciar a la linealidad o a la estabilidad, haciendo que las manipulaciones en la publicación original no tengan sentido.

Answer 2

Debes tener en cuenta que el valor principal de Cauchy de $\zeta(1)$ es $\gamma$ (constante de Euler-Mascheroni):

$$\lim_{h\to0}\frac{\zeta(1+h)+\zeta(1-h)}{2}=\gamma$$

El mismo valor se puede obtener utilizando la suma de Ramanujan de la serie armónica.

Así que para responder directamente a tu pregunta, sí, podemos asignar un valor a la suma de la serie armónica, y al menos los dos métodos dan el mismo resultado.

Nota que la suma de Ramanujan de $1+2+3+4+...$ es $-\frac{1}{12}$, por lo que este método se puede ver que funciona en ambos casos.

Answer 3

Para cualquiera que se tope con esta pregunta y no entienda, como me pasó a mí, me gustaría explicar exactamente qué era lo que específicamente me faltaba en mi comprensión.

Cuando publiqué esta pregunta, no sabía lo que la gente quería decir cuando decían que $\sum_{n=1}^\infty n = -1/12$. Ahora que soy mayor y tengo un poco más de experiencia, esta afirmación es matemáticamente incorrecta. Igualar estas dos cantidades es simplemente una falsedad, una insensatez pseudomatemática. Nadie me dijo esto cuando lo escuché, así que siempre lo percibí como un hecho matemático.

Entonces, ¿qué quiere decir la gente realmente cuando escriben eso? Bueno, podemos definir la Función Zeta de Riemann: $$ \zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^s} $$ para un número complejo $s$. Sabemos que esta suma converge para $\Re(s)>1$, y diverge cuando $s=1$, y $\Re(s)<1. Sin embargo, con frecuencia hablamos sobre valores de la función zeta para los cuales $\Re(s)<1$. Esto se debe a que en realidad no estamos hablando de la función zeta, sino de una (y la única) continuación analítica de la función zeta.

Para ser específicos, si una función $f$ es analítica en un dominio $U$, y $V\supset U$, y $F$ es alguna función analítica en $V$ tal que $F(z)=f(z)$ para $z\in U$, entonces $F$ es una continuación analítica de $f$ a un dominio más grande. Resulta que esta función $F$ es única. Dado que la función zeta es analítica en el semiplano $\Re(s)\ge 1$, menos el punto $s = 1$, tiene una continuación analítica a $\mathbb{C}\backslash\{1\}$, que está determinada de manera única por el comportamiento de la función $\zeta(s)$ en el dominio de convergencia de la suma infinita.

Uno puede estar curioso acerca de por qué esta continuación analítica no puede ser "infinita en todas partes" (lo cual parecería ser la única opción lógica para tal función dado que la suma no converge en ninguna parte fuera de $\Re(s)>1$). Si eso fuera cierto, entonces el recíproco de esa continuación analítica sería idénticamente cero en un subconjunto denso del plano complejo, lo cual, nuevamente por el principio de continuación analítica, debe implicar que la función es identicamente cero en todas partes. Pero esto no tiene sentido ya que $1/\zeta(s)$ está claramente definido para $\Re(s)>1$.

Por lo tanto, hay algún significado en los valores $\zeta(s)$ para $\Re(s)<1$, pero esto no significa que $\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^s}$ para todos los $s$. La suma diverge. La función zeta está extendida.

Sin embargo..., si abusamos un poco de nuestra notación, y permitimos que $\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^s}$ denote la continuación analítica, en lugar de la suma real, para $s$ fuera del dominio de convergencia, entonces podemos sustituir $s = 1$ para obtener $$ \zeta(-1) "=" 1 + 2 + 3 + 4 + \cdots $$ y se puede demostrar, correctamente (es decir, usando matemáticas reales, no pseudo-matemáticas), que $\zeta(-1)$ (es decir, la continuación analítica de $\zeta$ evaluada en $s=-1$), es realmente igual a $-1/12$.

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En cuanto a la suma $\sum_{n=1}^\infty\frac1{n}$, esta es simplemente un polo de la función zeta de Riemann. La función zeta, en toda la recta real, es una función meromorfa (es decir, es holomorfa/análitica en todas partes excepto en un conjunto numerable sin puntos de acumulación). Funciones como estas tienen permiso de tener singularidades en un número numerable de puntos disjuntos. Se pueden pensar como partes donde la función "se parece a" $1/(s-z)^k$ para algún $k$. (También hay "singularidades esenciales" que tienden a infinito más rápido que esto para cualquier $k$, pero el polo de la función zeta no es esencial).

Básicamente, esto significa que $\sum_{n=1}^\infty n = -1/12$ no contradice alguna noción de convergencia/divergencia que implique $\sum_{n=1}^\infty\frac1n = \infty. Ambas divergen, solo tenemos una forma "especial" de evaluar la primera suma.