Rotación frente a traslación

Question

¿Qué diferencia tan fundamental hay entre una rotación y una traslación para que una pueda representarse con un único n-vector y la otra necesite una n-n matriz?

Answer 1

Ambas son isometrías euclidianas (mapas que preservan la distancia y la forma global): el único otro tipo de isometría euclidiana es una reflexión, aunque esta última es "discreta" - no se puede tener una fracción de una reflexión, mientras que se puede tener una fracción $\alpha$ de una traslación o rotación: se traslada $\alpha$ veces más lejos o girar a través de $\alpha$ veces un ángulo determinado. Así que las dos transformaciones que mencionas son las únicas isometrías euclidianas continuas.

¿Qué es fundamentalmente diferente? Las traslaciones conmutan. Las rotaciones no. Esto significa que para dos traslaciones $T_1,\,T_2$ el orden de aplicación no importa: el resultado es el mismo sea cual sea la forma elegida, es decir $T_1\,T_2 = T_2\,T_1$ . Esto hace no mantener para las rotaciones: dibuje algunas marcas en una naranja y compruébelo usted mismo si no lo ha notado antes. Aparte de para las rotaciones sobre el mismo eje, $R_1\,R_2 \neq R_2\,R_1$ .

Todo grupos (busque esta palabra si no la conoce) de simetrías continuas que son abelianas ( es decir grupos de simetrías que conmutan - para los que el orden no importa) se puede demostrar que son esencialmente iguales (isomorfos) a cualquiera de los dos (1) un espacio de vectores dotado de suma de vectores o (2) un toro cuya superficie está etiquetada en coordenadas cartesianas ortogonales y que se comporta esencialmente igual que un espacio vectorial de adición de flechas. La única diferencia de este último, el grupo de toros, es que si se traslada lo suficiente en una dirección determinada, se puede volver al punto inicial. Por lo demás, el grupo de toros se parece exactamente a un espacio de vectores. Así que puedes tomar esto como tu razón informal fundamental: cualquier grupo de Lie conmutativo se parece exactamente a un espacio de vectores, o a uno "compactado" que se comporta de la misma manera, aparte de que se puede volver al punto inicial mediante una traslación suficientemente lejana en cualquier dirección .

Otra caracterización concisa es el comentario de CuriousOne:

Una traslación afecta sólo a una dirección de coordenadas, una rotación afecta a dos. Una traslación infinitesimal necesita un vector, una rotación infinitesimal necesita dos. ¿Quizás la mejor manera de pensar en comparar estas operaciones es con sus generadores que las matrices y los vectores? Estoy seguro de que un teórico puede aportar una respuesta mejor en relación con la teoría de la representación de los grupos de Lie.

Algunos antecedentes: en dimensiones superiores, las rotaciones giran en 2D aviones y dejar invariante el complemento ortogonal de un plano. Esto es lo que CuriousOne quiere decir con "la rotación afecta a dos". El concepto de eje sólo funciona en 3 dimensiones: puedes definir un plano en 3 dimensiones como el subespacio 2D normal a un vector (en dos dimensiones rotas alrededor de un punto). Así que, en 3D, con la dirección de un vector representando el eje y su magnitud representando el ángulo, puedes puede de hecho representan una rotación por un vector solitario. Existe incluso una ley del triángulo para la adición de vectores de las rotaciones, pero es algo más complicada que la adición de las traslaciones. No obstante, puede sorprenderle igualmente: vea la en el apartado "Ejemplo 1.4: ( $2\times 2$ Grupo Unitario $SU(2)$ )" en esta página de mi sitio web aquí . Otra forma de decirlo es como señala David Hammen: Que el concepto de eje sea viable en 3D es un "accidente" de dimensión: en $N$ dimensiones, una rotación es de la forma $e^H$ donde $H$ es un verdadero $N\times N$ asimétrico ( $H=-H^T$ : igual al negativo de su transpuesta) matriz y por lo tanto $H$ debe tener ceros a lo largo de su diagonal principal y su triángulo inferior, por debajo de la diagonal principal, es simplemente el triángulo superior, por encima de la diagonal principal, reflejado. Por lo tanto, hay $N\,(N-1)/2$ parámetros reales necesarios para especificar la rotación, que resulta ser igual a $N$ cuando $N=3$ .

Por último, hay que mencionar la relación especial entre traslaciones y rotaciones. Las traslaciones son especiales en la medida en que para cualquier isometría $U$ y la traducción $T$ tenemos $U\,T\,U^{-1} = T_1$ , donde $T_1$ es otra traducción (no necesariamente la misma que $T$ ). El nombre técnico de esto es que las traducciones forman un normal subgrupo del grupo de isometrías; lo que significa que cualquier La isometría puede descomponerse de forma única en la forma $T\,R$ , donde $T$ es una traducción y $R$ una rotación: decimos que el grupo de isometría $E(N)$ es el producto semidirecto (escrito $E(N)=T(N)\rtimes R(N)$ ) del grupo $T(N)$ de las traducciones y $R(N)$ de rotaciones).

Debo añadir que, en las dimensiones superiores, utilizo la palabra "rotación" de forma más flexible que muchos autores: Me refiero simplemente a cualquier transformación homogénea cuya matriz sea de la forma $e^H$ con $H$ simétrico. Muchos autores los dividen en otras clases diferentes.

Answer 2

Recordemos que un punto en un espacio de N dimensiones viene dado por un N-tupla que es (en su esencia) un vector .

Básicamente, cuando trasladas un punto o un conjunto de puntos en el espacio, estás eligiendo una dirección y moviendo esos puntos a lo largo de una línea recta en esa dirección. En otras palabras, estás sumando dos vectores. (Es cierto que podrías realizar una traslación complicada a lo largo de una trayectoria parametrizada, pero el resultado neto en términos de coordenadas sería un simple desplazamiento desde el punto inicial hasta el punto final).

Por otro lado, una rotación es una transformación fundamentalmente bidimensional (es decir, una rotación siempre define un plano). Por eso tenemos la regla de la derecha El pulgar es el vector normal al plano de rotación. Y un plano (al menos en tres dimensiones) está definido unívocamente por su vector normal.

Ahora debería empezar a estar claro por qué sólo necesitamos un vector para las traslaciones mientras que necesitamos una matriz para las rotaciones. Como las traslaciones definen una línea (un objeto unidimensional), sólo se necesita una matriz de primer orden tensor . Por otro lado, como las rotaciones definen un plano (un objeto bidimensional), se necesita un tensor de segundo orden.

En resumen, las traslaciones simplemente cambian los componentes de un vector de manera que el cambio en cada componente es independiente del cambio en los otros componentes, mientras que las rotaciones mezclan los componentes de un vector (es decir, la forma en que un componente cambia depende de los valores de los otros componentes).

Answer 3

A rotación es una transformación lineal en el espacio vectorial $\mathbb{R}^n$ y, por tanto, un miembro de la grupo de transformaciones lineales $\mathrm{GL}_\mathbb{R}(n)$ que es conocido para ser el grupo de $n\times n$ matrices.

A traducción no es una transformación lineal - es la adición de un vector constante a cada vector del espacio, y por lo tanto, en particular, no mapea el vector cero al vector cero. Dado que cada es una transformación lineal y viceversa (al menos en el caso dimensional finito), una traslación no puede ser una matriz, ya que no es lineal.

Hay mucho más que decir sobre la estructura de las rotaciones no abelianas en contraste con las traslaciones abelianas, pero esta es la única y definitiva razón: una es una transformación lineal, la otra no, por lo que una es una matriz y la otra no.

Answer 4

La diferencia fundamental entre traslación y rotación es que la primera (cuando hablamos de traslación de todo un sistema) afecta a todos los vectores de la misma manera mientras que una rotación afecta a cada vector base de una manera diferente . Por eso necesitamos una matriz, (y esta era la pregunta - por qué una matriz), porque para pasar a una base rotada, necesitamos especificar cada vector (función) de la antigua base en términos de la nueva base. Este es el origen de la $n$ x $n$ .

Permítanme ejemplificar en el espacio 3D. Supongamos que has definido un sistema de coordenadas $(x, y, z)$ . A lo largo de estos ejes tienes los vectores unitarios $\vec i, \vec j, \vec k$ . Ahora, cualquier punto $P$ en el espacio puede describirse por su posición $\vec r = x\vec i + y\vec j + z\vec k$ .

Si decide desplazar el punto $P$ a una nueva ubicación $P'$ la posición de $P'$ se verá afectado por un vector $\vec r'= \vec a + \vec r$ donde $\vec a = \vec {PP'}$ . O bien, escribir en detalle,

$\vec r'= (a_x + x)\vec i + (a_y + y)\vec j + (a_z + z)\vec k$ .

Esta es una traducción de un punto . Una traslación puede hacerse también de otra manera, podemos trasladar el origen de nuestro sistema de coordenadas, por ejemplo, por el vector $\vec a$ . En este caso, cualquier vector $\vec r'$ se verán afectados de la misma manera ,

$\vec r'= (x - a_x)\vec i + (y - a_y)\vec j + (z - a_z)\vec k$ .

A la diferencia, una rotación deja el origen en su lugar, y gira los ejes, los vectores unitarios. Por lo tanto, necesitamos una matriz, no un vector porque necesitamos expresar cada uno de los nuevos vectores se ve afectado de forma diferente por lo que tenemos que expresar cada una de ellas en términos de la antiguos vectores unitarios . En nuestro caso del espacio 3D

$\vec i' = (\vec i' \vec i) \vec i + (\vec i' \vec j) \vec j + (\vec i' \vec k) \vec k$ ,

$\vec j' = (\vec j' \vec i) \vec i + (\vec j' \vec j) \vec j + (\vec j' \vec k) \vec k$ ,

$\vec j' = (\vec k' \vec i) \vec i + (\vec k' \vec j) \vec j + (\vec k' \vec k) \vec k$ .

Los nueve productos internos dados anteriormente forman los 9 elementos de la matriz para pasar de las coordenadas antiguas $x, y, z$ a las nuevas coordenadas $x', y', z'$ .

Una rotación puede ser no sólo en el espacio ordinario, sino también en un espacio de funciones. Las cosas van de manera similar, tenemos una matriz porque tenemos $n$ vectores para expresar en términos de $n$ nuevos vectores.

Answer 5

Por n, creo que te refieres a la dimensión del espacio. Tomemos el espacio ordinario R3, el espacio euclidiano 3.

Me imagino que una rotación puede ser representada muy bien por un vector de 3 (x,y,z) donde la dirección del vector da el EJE y la longitud del vector da el ángulo de rotación.