Límite asintótico del cociente de la desviación absoluta y al cuadrado de la media

Question

La siguiente fracción aparece al tratar de mostrar la consistencia del estimador de la pendiente OLS en una regresión lineal simple en una escala logarítmica donde la ventana de observación cambia según el tamaño de la muestra $T$ aumenta y quiero encontrar una constante $c > 0$ tal que $$ \frac{\sum_{k = 1}^{N(T)} \vert x_{k, T} - \bar{x}_{N(T)} \vert}{\sum_{k = 1}^{N(T)} (x_{k, T} - \bar{x}_{N(T)})^2} \leq c $$ si $T$ es lo suficientemente grande, donde $$ \begin{align*} x_{k, T} &= \log(T^{\varepsilon} + k - 1), \ \varepsilon \in (0, 1), \\ \bar{x}_{N(T)} &= \frac{1}{N(T)} \sum_{k = 1}^{N(T)} x_{k, T}, \\ N(T) &= (m - 1) T^{\varepsilon},\ m > 1 \end{align*} $$

Hasta ahora, he intentado alguna forma de averiguar para qué $k$ sostiene que $\vert x_{k, T} - \bar{x}_{N(T)} \vert \leq 1$ y luego usando que el valor absoluto es menor o igual a su cuadrado lo que ayuda a acotar una parte de la fracción pero no sé cómo tratar la parte restante.

Otra idea mía es reescribir la fracción multiplicando tanto el numerador como el denominador por $1 / N(T)$ tal que el numerador es la desviación media absoluta de una muestra (no aleatoria) $(x_{1, T}, \ldots, x_{N(T), T})$ de su media mientras que el denominador es la desviación media al cuadrado. Esperaba que tal vez haya algún conocimiento sobre el comportamiento asintótico de ambos, numerador y denominador, pero hasta ahora no he encontrado nada. Además, las cosas son un poco complicadas porque como $T$ aumenta la muestra no sólo se hace más grande sino que cambia por completo.

Finalmente, otra idea es utilizar la fracción reescrita del planteamiento anterior e intentar demostrar que tanto el numerador como el denominador son asintóticamente equivalentes a integrales de la forma $\int_{T^{\varepsilon}}^{mT^{\varepsilon}}...dx$ que es de esperar que sean algo fáciles de evaluar. Sin embargo, no estoy muy seguro de que esa equivalencia asintótica sea factible.

Answer 1

$\newcommand{\ep}{\varepsilon}\newcommand{\num}{\operatorname{num}}\newcommand{\den}{\operatorname{den}}\newcommand{\R}{\mathbb R}$ Dejemos que $$x_k:=x_{k,T}=\ln(S+k-1),\quad S:=T^\ep,\quad N:=N(T).$$ Asegurémonos de que $N$ es un número entero, suponiendo, más generalmente, sólo que \begin{equation} N\sim(m-1)S. \end{equation} Tenemos que demostrar que eventualmente (es decir, para todo lo suficientemente grande $S>0$ ) \begin{equation} \frac{\num}{\den}\le c<\infty, \end{equation} donde \begin{equation} \num:=\sum_1^N|x_k-\bar x|,\quad \den:=\sum_1^N(x_k-\bar x)^2,\quad \bar x:=\frac1N\,\sum_1^Nx_k, \end{equation} y $c$ puede depender sólo de $m\in(1,\infty)$ .

Tenga en cuenta que $\sum_1^N|x_k-a|$ es convexo en $a\in\R$ . Por lo tanto, \begin{align*} \num&\le\max\Big(\sum_1^N(x_k-x_1),\sum_1^N(x_N-x_k)\Big) \\ &\le\max\Big(\sum_1^N\ln\Big(1+\frac{k-1}S\Big),\sum_1^N\ln\Big(1+\frac{N-K}S\Big)\Big) \\ &\le\max\Big(\sum_1^N\frac{k-1}S,\sum_1^N \frac{N-K}S\Big) \\ &=\frac{N(N-1)}{2S}\le\frac{(m-1)^2}{2+o(1)}\,S. \end{align*}

Por otro lado, por la desigualdad de Jensen para la función cóncava $\ln$ , \begin{equation} \bar x=\frac1N\,\sum_1^N\ln(S+k-1)\le\ln\Big(\frac1N\,\sum_1^N(S+k-1)\Big) =\ln(S+(N-1)/2). \end{equation} Así que, \begin{align*} \den&\ge\sum_{3N/4\le k\le N}(x_k-\bar x)^2 \\ &\ge\sum_{3N/4\le k\le N}\ln^2\Big(1+\frac{k-1-(N-1)/2}{S+(N-1)/2}\Big) \\ &\ge\frac N{4+o(1)}\,\ln^2\Big(1+\frac{N/4}{S+(m-1)S/2}\Big) \\ \ &\sim\frac{(m-1)S}4\,\ln^2\Big(1+\frac{m-1}{2m+2}\Big). \end{align*} Así, \begin{equation} \frac{\num}{\den}\le(2+o(1))(m-1)\Big/\ln^2\Big(1+\frac{m-1}{2m+2}\Big), \end{equation} como se desee.