¿por qué wolfram alpha no evalúa esta integral?

Question

Estoy tratando de calcular la integral dada a continuación utilizando Wolfram alfa $$\int_0^{\sqrt2}\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{2-x^2}}{2}\right)dx$$ Sin embargo se puede resolver por método numérico pero no sé por qué Wolfram alpha no la calcula. ¿alguien podría explicarme o ayudarme a resolver esta integral? muchas gracias

Answer 1

La forma más directa de calcular esta integral parte de lo ya explicado por @Claude Leibovici: integramos por partes y observamos que el término de frontera desaparece, por lo que quedamos en

$$ I=\int_0^{\sqrt{2}}dx\frac{x^2}{2\sqrt{1-(x^4/4)}} $$

ahora que se ha establecido $r=x^4/4$ obtenemos

$$ I=\frac{1}{2\sqrt{2}}\int_0^{1}dr\frac{1}{r^{1/4}(1-r)^{1/2}} $$

esta integral es igual a una representación de la función Beta euleriana que, a su vez, puede expresarse en términos de funciones Gamma

$$ I=\frac{1}{2\sqrt{2}}\frac{\Gamma(1/2)\Gamma(3/4)}{\Gamma(5/4)} $$

utilizando la duplicación Gamma, así como $\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$ esto se reduce a

$$ I=\frac{1}{2\sqrt{2}}\frac{4 \sqrt{2}\pi^{3/2}}{\Gamma(1/4)^2}=\frac{2\pi^{3/2}}{\Gamma(1/4)^2} $$

como se esperaba

Answer 2

No sé por qué Wolfram alpha no calcula esta integral.

Consideremos la antiderivada $$I=\int\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{2-x^2}}{2}\right)dx$$ La integración por partes conduce a $$I=x \sin ^{-1}\left(\frac{\sqrt{2-x^2}}{2}\right)+\int\frac{x^2}{\sqrt{4-x^4}}dx$$ El segundo término implica integrales elípticas $$\int\frac{x^2}{\sqrt{4-x^4}}dx=\sqrt{2} \left(E\left(\left.\sin ^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right|-1\right)-F\left(\left.\sin ^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right|-1\right)\right)$$ En cuanto a la integral definida, el primer término se cancela debido a los límites dados y $$J=\int_0^t\frac{x^2}{\sqrt{4-x^4}}dx=\sqrt{2} \left(E\left(\left.\sin ^{-1}\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right)\right|-1\right)-F\left(\left.\sin ^{-1}\left(\frac{t}{\sqrt{2}}\right)\right|-1\right)\right)$$ que tiende a $$\sqrt{2} \left(E(-1)-K(-1)\right)$$ cuando $t \to \sqrt{2}$ . De hecho, esto puede simplificarse a $$\frac{2 \pi ^{3/2}}{\Gamma \left(\frac{1}{4}\right)^2}\approx 0.847213$$

Answer 3

WolframAlpha no es realmente tan bueno leyendo $\TeX$ ; necesita simplificar la entradadx&x=0&y=0) un poco.