Cómo resolver las recurrencias lineales compuestas por ambos $x_n$ y $y_n$ ?

Question

Sé cómo resolver una recurrencia general lineal y homogénea pero estas son las que me han dado:

(i) $x_{n+1} = 3x_n + 6y_n$

(ii) $y_{n+1} = 6x_n - 2y_n$

Condiciones iniciales: $x_0 = -1, y_0 = 0$

¿Cómo puedo resolverlos?

Answer 1

Hay un par de maneras.

Escriba la 1ª como $y_n=(1/6)x_{n+1}-(1/2)x_n$ que también le da $y_{n+1}=(1/6)x_{n+2}-(1/2)x_{n+1}$ y sustituir estas expresiones en la 2ª ecuación para obtener una recurrencia en la que sólo interviene $x$ .

O bien, reescribir como $v_{n+1}=Av_n$ donde $v_n=(x_n,y_n)$ y $$A=\pmatrix{3&6\cr6&-2\cr}$$ Entonces $v_n=A^nv_0$ y se puede calcular utilizando los vectores propios y los valores propios de $A$ .

Answer 2

Gerry tiene razón, pero hay una tercera forma de hacerlo, en la que se determinan los valores de $a$ y $b$ para que $v_n=ax_n+by_n$ puede escribirse como una recurrencia sólo en términos de $v_n$ .

Así que $$v_{n+1}=(3a+6b)x_n+(6a-2b)y_n = c(ax_n+by_n)$$ Por lo tanto, $3a+6b=ac$ y $6a-2b=bc$ . Elimiando $c$ da $3ab+6b^2-6a^2+2ab=0$ y por lo tanto $6b^2+5ab-6a^2=0$ o $(3a+2b)(3b-2a)=0$ .

Dejar $3a+2b=0$ , usted tiene $a=\frac{-2b}3$ lo que significa que $c=\frac{6a-2b}b=\frac{-4b-2b}b=-6$ . Como alternativa, puede utilizar $3b-2a=0$ que da $c=7$ . Tenga en cuenta que puede elegir cualquier número para $b$ en cada caso, por lo que $b=3$ en la primera y $b=2$ en la segunda tiene sentido. Entonces tendrás dos relaciones de recurrencia de primer orden separadas que puedes resolver por separado, y luego resolver para $x_n$ y $y_n$ por el álgebra básica.

Answer 3

Puede utilizar la función generadora para resolver este problema. Establezca $$ A(r)=\sum_{n=0}^\infty x_nr^n, B(r)=\sum_{n=0}^\infty y_nr^n, $$ y luego, a partir de la recurrencia, se puede obtener $$ x_{n+1}r^{n+1}=3rx_nr^n+6ry_nr^n,r^{n+1}y_{n+1}=6rx_nr^n-2ry_nr^n. $$ Así, $$ \sum_{n=0}^\infty x_{n+1}r^{n+1}=3r\sum_{n=0}^\infty x_nr^n+6r\sum_{n=0}^\infty y_nr^n,\sum_{n=0}^\infty y_{n+1}r^{n+1}=6r\sum_{n=0}^\infty x_nr^n-2r\sum_{n=0}^\infty y_nr^n $$ y por lo tanto $$ 1+A(r)=3rA(r)+6rB(r),B(r)=6rA(r)-2rB(r). $$ Resolver $A(r), B(r)$ a partir de estas dos ecuaciones, se puede obtener $$ A(r)=\frac{2r+1}{(6r+1)(7r-1)},B(r)=\frac{6r}{(6r+1)(7r-1)}. $$ Utilizando las expansiones de Taylor de $A(r),B(r)$ se pueden obtener las expresiones de $x_n,y_n$ fácilmente.