Resolver $4\sinh(2x)=\cosh(2x)$

Question

Resolver $$4\sinh(2x)=\cosh(2x)$$

Así que el método que he utilizado me lleva a la respuesta de $x=0$ pero esto no es correcto y no veo qué he hecho mal. Mi método es: $$4\sinh(2x)-\cosh(2x)=0$$ $$\frac{4(e^{2x}-e^{-2x})}{2}-\frac{e^{2x} + e^{-2x}}{2} =\frac{3e^{2x}-3e^{-2x}}{2}=0$$ $$3e^{2x}-3e^{-2x}=0$$ $$e^{2x}-e^{-2x}=0$$ $$e^{2x} - \frac{1}{e^{2x}}=0$$ $$e^{4x}-1=0$$ $$4x=\ln1$$ Pero $\ln1=0$ así que he llegado a un callejón sin salida. Cualquier ayuda sería estupenda.

Answer 1

Tenga en cuenta que debe ser $$\frac{4(e^{2x}-e^{-2x})}{2}-\frac{e^{2x} + e^{-2x}}{2} =\frac{3e^{2x}-5e^{-2x}}{2}=0\implies 3e^{4x}-5=0$$

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Alternativamente, como $\cosh x>0$ podemos dividir por $\cosh 2x$ así que resolvemos $\tanh2x=1/4$ y la ecuación $$\tanh x=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$$ se puede utilizar.

Answer 2

¿Por qué no usas la alternativa fomulæ? $$\sinh u=\frac{\mathrm e^{2u}-1}{2\mathrm e^u}, \quad \cosh u=\frac{\mathrm e^{2u}+1}{2\mathrm e^u},$$ que ceden al instante, fijando $t=\mathrm e^{4x}$ la ecuación $$4(t-1)=t+1.$$