Elevación del elemento de campo a la potencia característica

Question

Me encontré con esto en un conjunto de notas.

Dejemos que $K$ sea un campo de característica $p$ y que $\lambda\in K$ . Entonces $$\lambda^{p-1}=1.$$

Nunca he visto esto antes. ¿Es correcto?

Answer 1

El hecho relevante aquí es que, para cualquier campo $F$ de la característica $p$ existe un único homomorfismo de campo $\mathbf{F}_p \to F$ y que los elementos no nulos de (la imagen de) $\mathbf{F}_p$ son precisamente los $(p-1)$ -raíces de la unidad en $F$ .

$\mathbf{F}_p$ significa el campo de $p$ elementos, que es isomorfo a los enteros módulo $p$ .

Answer 2

La afirmación que has dado es "conocida" (es decir, cuando se afirma correctamente, ver los comentarios o el enlace) y se llama El pequeño teorema de Fermat .

Espero que eso ayude,

Answer 3

Como se ha dicho, no es cierto: se sabe (pero no lo demostraré aquí) que en un campo, $F$ que un polinomio de grado $n$ en $F[x]$ tiene como máximo $n$ raíces.

Si $\text{char}(F) = p$ Ciertamente lo hemos hecho: $x^p - x$ es un polinomio de grado $p$ en $F[x]$ y esto es un factor en el campo primo de $F$ (que es isomorfo a $\Bbb Z_p$ ) como:

$x^p - x = x(x - 1)\cdots(x - (p - 1))$ (lo que debería estar claro ya que $\Bbb Z_p - \{0\}$ es un grupo de orden $p - 1$ y, por tanto, todo elemento no nulo tiene un orden (multiplicativo) que divide a $p-1$ de la teoría básica de grupos).

Así que si $F \neq \Bbb Z_p$ (o más bien, es (estrictamente) mayor que su subcampo primo), no podemos tener ninguna otra raíz de $x^p - x = x(x^{p-1} - 1)$ , por lo que no hay raíces de $x^{p-1} - 1$ que no sean los del subcampo primario.

Concretamente, si $F$ es un campo de $4$ elementos, digamos $\{0,1,a,1+a\}$ de la característica $2$ entonces $a \in F$ pero $a = a^1 = a^{2-1} \neq 1$ .