Operadores de reflexión y auto-unión

Question

Dejemos que R sea un operador acotado en un espacio de Hilbert, H .

Estoy tratando de demostrar que si X es un subespacio cerrado de H tal que

\begin{align*} x + Rx \in X \ \ \ \text{and} \ \ \ x - Rx \in X^{\perp} \end{align*}

por cada $x \in H$ entonces $R = R^*$ y $R^2 = I$ .

No estoy muy seguro de cómo mostrar cualquiera de las conclusiones. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Desde $x=\frac {x+Rx} 2 +\frac {x-Rx} 2$ el primer término está en $X$ y el segundo término en $X^{\perp}$ se deduce que $\frac {x+Rx} 2=Px$ donde $P$ es la proyección sobre $X$ . Por lo tanto, $R=2P-I$ . Se deduce inmediatamente que $R^{*}=R$ y $R^{2}=(2P-I)^{2}=4P^{2}-4P+I=I$ .