¿Puedo recuperar un grupo por sus homomorfismos?

Question

Hay un grupo generado finamente $G$ lo cual no sé. Para cada grupo finito $H$ Puedo pensar en, sé el número de homomorfismos $G \to H$ hasta la conjugación. (Con esto quiero decir que dos homomorfismos $ \phi_1 $ y $ \phi_2 $ se consideran equivalentes si existe una $h \in H$ de tal manera que $ \phi_1 (g)h = h \phi_2 (g)$ para todos $g \in G$ .)

Dadas estas cifras, ¿tengo suficiente información para recuperar $G$ ?

Edición: La pregunta está motivada por la física. Un piso $H$ -conexión en un colector $M$ es un homomorfismo $ \pi_1 (M) \to H$ y la transformación de un indicador es una conjugación. Así que me interesa saber si puedo recuperar el grupo fundamental contando las clases de equivalencia de las conexiones, para grupos de calibre finitos arbitrarios.

Edición 2: Sería interesante también si contamos el número de homomorfismos sin tener en cuenta la equivalencia por conjugación.

Answer 1

No. Si $G$ es infinito y simple, entonces cualquier homomorfismo $f:G \to H$ para $H$ finito debe ser trivial; de lo contrario, $ \ker f$ sería un subgrupo normal adecuado de $G$ . Tales grupos (generados de forma finita) existen, aunque su construcción no es trivial; mira los grupos de Thompson, por ejemplo, o uno de los ejemplos de Higman.

Answer 2

Para $G$ finito la respuesta es sí .

Está claro que es suficiente para saber qué grupos finitos $H$ son cocientes de $G$ como $G$ será el más grande de ellos. Para ello determinamos el número de homomorfismos surjidos $G \to H$ por inducción: Para $H=1$ hay exactamente uno. Así que podemos asumir que conocemos el número de homomorfismos supectivos $G \to U$ para todos los subgrupos adecuados $U$ de $H$ .

Suponiendo que se nos dé el número $n_H$ de homomorfismos $ \varphi :G \to H$ hasta la conjugación por elementos $h$ de $H$ donde $ \varphi ^h(g) = ( \varphi (g))^h$ . Deje que $U = \varphi (G)$ ser la imagen de $ \varphi $ en $H$ . Para $h \in C_H(U)$ centralizando $U \le H$ tenemos $ \varphi ^h = \varphi $ , y viceversa la igualdad implica que $h$ centraliza $U$ . Así que contar la conjugación del módulo es lo mismo que pesar cada homomorfismo con uno sobre el índice del centralizador de su imagen. (Para $h \in N_H(U)$ normalizando $U \le H$ sabemos $ \varphi ^h(G)= \varphi (G)$ . Para el general $h \in H$ conseguimos que la imagen de $G$ en $H$ bajo $ \varphi ^h$ es un subgrupo de $H$ conjugado con $U$ : $ \varphi ^h(G) = U^h$ .)

Escribir el número $n_H$ de homomorfismos (hasta la conjugación) como $$n_H = \sum_ { \varphi :G \to H} \frac {|C_H( \mathrm {Im}( \varphi ))|}{|H|} = \sum_ {U \le H} \sum_ {{ \varphi :G \to U} \mbox { surjective}} \frac {|C_H(U)|}{|H|}$$ el lado izquierdo $n_H$ se conoce por suposición. Por inducción todos los términos menos uno (para $U=H$ ) de la suma exterior en el lado derecho puede ser calculado, lo que nos permite determinar el término que falta $x = \sum_ {{ \varphi :G \to H} \mbox { surjective}} \frac {|C_H(H)|}{|H|}$ . El número de homomorfismos surjidos $G \to H$ es entonces $x$ veces el índice del centro de $H$ .

La prueba puede adaptarse fácilmente al caso sin la conjugación mencionada en la edición 2.