El conjunto incontable con topología co-contable no es un espacio secuencial

Question

[Cita: S. Morris "Topología sin lágrimas" problema 6.2.11.iii]

Este es el problema:

"Un espacio topológico $(X,\tau)$ se dice que es un espacio secuencial si todo conjunto cerrado secuencialmente es cerrado. Demostrar que un espacio topológico es un espacio secuencial si y sólo si todo conjunto secuencialmente abierto es abierto. Deducir de esto que si $X$ es un conjunto incontable y $\tau$ es la topología contable-cerrada en $X$ del ejercicio 1.3 #6, entonces $(X,\tau)$ no es un espacio secuencial".

Entiendo la primera prueba, pero no estoy seguro de la parte de "deducir". Parece sugerir que se encuentre un conjunto abierto que no sea abierto, pero no veo cómo hacerlo así. Creo que me estoy perdiendo algo y/o haciéndolo más difícil de lo necesario.

Aquí está mi intento:

Si podemos encontrar un conjunto cerrado que no sea cerrado, entonces $X$ no puede ser un espacio seq.

Fijar un elemento $a\in X$ y considerar el subconjunto adecuado $S=X\setminus \{a\}$

Desde $X$ es incontable, sabemos que $S$ también es incontable.

Desde $\tau$ es la topología co-contable, sabemos que $S$ -no se puede cerrar la cuenta.

Pero $S$ se cierra secuencialmente con el siguiente argumento:

Para cualquier elemento $b\in S$ , considere la secuencia $S_b = \{b, b, b, ...\}$ . Claramente, $S_b \rightarrow b\in S$ .

Ahora, demuestre que $a\not\in S$ no es el límite de ninguna secuencia en $S$ :

Tenga en cuenta que cualquier secuencia $S_n$ de elementos de $S$ es un conjunto contable, y sea $M = \{x: x = x_n$ para algunos $x_n\in S_n\}$ Por lo tanto, el conjunto $X\setminus M$ está abierto.

Pero también hay que tener en cuenta que como $a\not\in S$ tenemos que $a\in X\setminus M$ para todas las secuencias posibles $S_n$ .

Esto significa que para cualquier secuencia $S_n = \{x_1, x_2, x_3, ...\}$ tomado de $S$ existe un conjunto abierto $X\setminus M$ que contiene $a$ pero que no contiene ninguno de los elementos de la secuencia .

(*) Por la definición de convergencia de la secuencia, decimos $S_n\rightarrow a$ si para cada conjunto abierto $U$ que contiene $a$ existe un número entero positivo $N$ tal que $\forall n\geq N$ , $x_n\in U$ .

Pero $X\setminus M$ es un conjunto abierto que contiene $a$ que contiene ninguno de los elementos de la secuencia $S_n$ .

Por lo tanto, no puede haber ningún número entero positivo $N$ tal que $\forall n \geq N$ , $x_n\in X\setminus M$ .

Dado que este es el caso para cada secuencia en $X\setminus\{a\}$ no hay ninguna secuencia $S_n$ tomado de $S$ tal que $S_n \rightarrow a$ .

Por lo tanto, $S$ está cerrada secuencialmente.

Pero vimos que $S$ no está cerrado.

Por lo tanto, hemos encontrado un conjunto cerrado que no es cerrado. Por lo tanto, $(X,\tau)$ no es un espacio secuencial.

Answer 1

Lema: si $X$ tiene la propiedad de que todos los conjuntos contables son cerrados y $x_n \to x$ en $X$ entonces hay algo de $N$ tal que para todo $n \ge N$ tenemos $x_n =x$ . (es decir, todas las secuencias convergentes son finalmente iguales a su límite).

Prueba: Supongamos que $x_n \to x$ . Definir $M=\{x_n: x_n \neq x\}$ . Se trata de un conjunto contable que no contiene $x$ Así que $X\setminus M$ es una vecindad abierta de $x$ por lo que por convergencia hay algún $N$ tal que para todo $n \ge N$ , $x \in X\setminus M$ . Esto último sólo puede ocurrir si $x_n =x$ (por definición) así que hemos terminado.

Esto significa que en la topología co-contable todo los subconjuntos son secuencialmente cerrados: dejemos que $A \subseteq X$ y supongamos que $a_n \in A$ para todos $n$ y $a_n \to x$ . Por el lema tenemos que para algún $N$ , $a_n = x$ para todos $n \ge N$ así que en particular $x \in A$ . Así que $A$ está cerrada secuencialmente.

Ahora dejemos que $A$ sea cualquier subconjunto propio incontable de $X$ (por lo que su $X$ menos un singleton servirá). Esto no está cerrado (no es $X$ o contable) pero está cerrado secuencialmente por el anterior. Hecho.