El volumen de $A$ en términos de $C$

Question

Dejar $A$ sea una región en $\mathbb R^3$ tal que $$x_1^4+x_2^4+x_3^4\le 1 \text{ and } x_i\ge0$$

dejar $C$ sea el volumen de esta región, consideremos ahora la misma región pero en lugar de $1$ tenemos $$x_1^4+x_2^4+x_3^4\le 29$$

cuál es el volumen de esta región en términos de $C$ .

Me enseñaron que si una región en $\mathbb R^3$ se multiplicó por un factor de $r$ entonces el nuevo volumen es sólo $r^3 \cdot (\text{the original volume})$ , por lo que nuestro volumen es sólo $29^3C$ ¿No es así?

Answer 1

$$x_1^4+x_2^4+x_3^4\le 29 \implies \left(\frac{x_1}{\sqrt[4]{29}}\right)^4+\left(\frac{x_2}{\sqrt[4]{29}}\right)^4+\left(\frac{x_4}{\sqrt[4]{29}}\right)^4 \le 1$$

El volumen se escala por un factor de $\sqrt[4]{29}$ En otras palabras, el nuevo volumen es igual a $29^{\frac{3}{4}}C $ .