Evolución a largo plazo de la ecuación de Burgers ( $t\to\infty$ )

Question

Problema

Dibuja las características y describe la evolución para $t \to \infty $ de la solución del problema $$ \begin{align}\begin{cases}u_{t} + u u_{x} = 0 & t > 0 , x \in \mathbb{R} \\ u(x,0) = \phi(x) & x \in \mathbb{R} \end{cases} \end{align} \tag{1}$$

donde $\phi(x)$ viene dada por $$ \phi(x) = \begin{align}\begin{cases} \sin(x) & 0 < x < \pi \\ 0 & x \leq 0 \textrm{ or } x \geq \pi \end{cases} \end{align} \tag{2}$$

Intento

Si tomamos las características de la ecuación de Burgers

$$ u_{t} + u u_{x} = 0 \tag{3} $$

tendremos

$$ \frac{dx}{dt} = u \\ \frac{du}{dt} = 0 \tag{4}$$

$$ x(t) = ut+x_{0} \\ u = c_{0} \tag{5}$$

entonces obtenemos que

$$ c_{0} = \phi(x_{0}) \implies x(t) =\phi(x_{0})t + x_{0} \tag{6}$$

$$ u(x,t) = \phi(x_{0}) = \phi(x-ut) \tag{7}$$ $$ u(x,t) = \begin{align}\begin{cases} \sin(x-c_{0}t) & 0 < x < \pi \\ 0 & x \leq 0 \textrm{ or } x \geq \pi \end{cases} \end{align} \tag{8}$$

ahora usando identidades trigonométricas

$$ \sin(\alpha-\beta) = \sin(\alpha)\cos(\beta) -\cos(\alpha)\sin(\beta) \tag{9}$$

esto nos da

$$ \sin(x-c_{0}t) = \sin(x)\cos(c_{0}t) -\cos(x)\sin(c_{0}t) \tag{10}$$

¿Cómo se supone que debo dibujar las características? Entiendo que están entre las $x-t$ eje. Esto no parece fácil. ¿Existe un método sencillo? ¿Existe una herramienta de trazado?

Answer 1

Las curvas características emitidas a partir de los datos iniciales son las curvas $x = x_0 + \phi(x_0) t$ que se muestra a continuación:

Para tiempos cortos, la solución viene dada por el método de las características, es decir, $u=\phi(x-ut)$ se satisface con $u$ . Aquí las características se cruzan en el momento de la ruptura $t_b = {-1}/\inf_x \phi'(x) = 1$ donde se produce una onda de choque. La abscisa de la onda de choque $x_s(t)$ satisface la condición de Rankine-Hugoniot $$ x'_s(t) = \frac{1}{2} \big(0 + \sin(x_0(t))\big) \quad\text{where}\quad \left\lbrace \begin{aligned} &x_0(t) + t \sin(x_0(t)) = x_s(t)\\ &0\leq x_0(t)\leq \pi \end{aligned}\right. $$ con la condición inicial $x_s(1) = \pi$ . Resolver para $x_0(t)$ tenemos $$ x'_0(t) = -\frac{1}{2}\frac{\sin x_0(t)}{1 + t \cos x_0(t)} $$ con la condición inicial $x_0(1) = \pi$ . Desde $u$ es constante a lo largo de las características, el valor máximo de la solución es $u_s(t) = u(x_s(t),t) = \sin(x_0(t))$ . Como $t\to {+\infty}$ tenemos $x'_0(t)\to 0$ y $x_0(t) \to 0$ . Por lo tanto, $u_s(t) \to 0$ .