Conmutador de operadores paritarios y hamiltonianos bajo función potencial par

Question

Necesito mostrar lo que es $[H,P]$ donde $H$ es el hamiltoniano y $P$ el operador de paridad. $V(\underset{\sim}x) = V(-\underset{\sim}x)$ en este caso.

Empiezo con

$$ \langle \underset{\sim}x|HP|\psi\rangle = \langle \underset{\sim}x|(\frac{p^2}{2m}+V)P|\psi\rangle = \langle \underset{\sim}x|(\frac{p^2}{2m}+V)P|\psi\rangle = \langle \underset{\sim}x|\frac{p^2}{2m}P|\psi\rangle+\langle \underset{\sim}x|VP|\psi\rangle $$

y como $\langle \underset{\sim}x|V = V(\underset{\sim}x)\langle \underset{\sim}x|$ (¿es válido este paso?) y $ \langle \underset{\sim}x|P = \langle -\underset{\sim}x|$ la ecuación anterior se convierte en

$$ \langle \underset{\sim}x|HP|\psi\rangle = \langle \underset{\sim}x|\frac{p^2}{2m}P|\psi\rangle + V(\underset{\sim}x)\psi(-\underset{\sim}x) $$

Del mismo modo, tengo

$$ \langle \underset{\sim}x|PH|\psi\rangle = \langle \underset{\sim}x|P\frac{p^2}{2m}|\psi\rangle + V(-\underset{\sim}x)\psi(-\underset{\sim}x) = \langle \underset{\sim}x|P\frac{p^2}{2m}|\psi\rangle + V(\underset{\sim}x)\psi(-\underset{\sim}x) $$

Tomando la diferencia de los dos, encuentro que

$$ \langle \underset{\sim}x|HP-PH|\psi\rangle = \langle \underset{\sim}x|\frac{p^2}{2m}P-P\frac{p^2}{2m}|\psi\rangle = -\langle \underset{\sim} x|\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}P|\psi \rangle +\langle -\underset{\sim} x|\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}|\psi\rangle $$

que me ha costado evaluar. ¿Alguna pista?

Answer 1

Creo que hay una forma más fácil de hacerlo. Actuando con el operador de Paridad sobre el Hamiltoniano tenemos: \begin{align} P \hat{H} P & = \hat{H} ( - x ) \\ \Rightarrow P \hat{H} & = \hat{H} ( - x ) P \end{align} Así que el hamiltoniano conmuta con el operador de paridad si $ \hat{H} ( x ) = \hat{H} ( - x ) $ . Ahora \begin{equation} \frac{ p ^2 }{ 2 m } = - \frac{1}{ 2m} \frac{ \partial ^2 }{ \partial x ^2 } \xrightarrow{P} - \frac{1}{ 2m} \frac{ \partial ^2 }{ \partial (-x) ^2 } =- \frac{1}{ 2m} \frac{ \partial ^2 }{ \partial x ^2 } \end{equation} Así que los momentos al cuadrado en invariantes. Además, si \begin{equation} V ( - x ) = V ( x ) \end{equation} entonces el potencial también es invariante. Así tenemos, \begin{equation} \hat{H} ( - x ) = \hat{H} ( x ) \end{equation} y el hamiltoniano debe conmutar con el operador de paridad.