matriz de transformación lineal relativa a una base

Question

Dejemos que $B={b_1,b_2,b_3}$ sea una base del espacio vectorial real $V$ . Tome la transformación lineal $\phi : V \to V$ definido por $\phi(b_1) = \phi(b_2) = \phi(b_3) = b_1 + b_2 + b_3$ .

a) Escribe la matriz $A = [\phi]_B$ de la transformación $\phi$ en relación con la base $B$ .

b) Encuentre el polinomio característico, los valores propios y los vectores propios de $\phi$ .

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Buscando una ayuda para encontrar $A$ Sé que es $(3$ x $3)$ - matriz y tengo que calcular 9 entradas.
Ahora bien, ¿es cierto que tener tres columnas similares con entradas todas son variables? Si la respuesta es afirmativa, ¿cómo puedo resolver el segundo problema?

Answer 1

Si estás familiarizado con el cambio de base debes saber que las entradas de una transformación lineal $f : (V,B) \longmapsto (V,B')$ son las coordenadas en la base $B'$ de la imagen de la base de partida $B$ .

Vamos $B:=\{v_{1},v_{2},v_{3}\}$ y $\phi:=f$ .

Pensemos en $V$ como $\mathbb{R}^{3}$ gracias al isomorfismo de coordenadas (dado por el específico que $B$ es una base de $V$ espacio vectorial real).

En nuestro caso, ya que $f(v_{1}) = f(v_{2}) = f(v_{3}) = 1 \cdot v_{1} + 1 \cdot v_{2} + 1 \cdot v_{3}$ tenemos que :

$$M_{B \to B}(f):=A= \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix}$$

¿Por qué? Simplemente porque las coordenadas de $f(v_{1})$ en la base $B$ son $1 \cdot v_{1} + 1 \cdot v_{2} + 1 \cdot v_{3}$

Por supuesto, para encontrar el polinomio característico se puede calcular $det(A-tI_{d})$

Pero en este caso el trabajo es mucho más fácil, ¿por qué? Simplemente hay que tener en cuenta que $v_{1}+v_{2}+v_{3}$ es un vector propio de valor propio $3$ ,

(Se puede notar que al ver que $f(v_{1}+v_{2}+v_{3}) =3f(v_{1}) = 3(v_{1}+v_{2}+v_{3})$

Y en segundo lugar observando la matriz nos damos cuenta de que $Ker(f)$ al menos de dimensión dos, ya que hay 2 vectores lineales dependientes, cada uno de los cuales nos da un vector propio de valor propio $0$ .

Acabamos de calcular el polinomio característico sin esfuerzo computacional ya que $dim(V) = dim(\mathbb{R}^{3}) = 3$ ;

Pero acabamos de encontrar 3 vectores propios independientes,

Así que el polinomio característico debe ser $p_{A}(t) = t^{2}(t-3)$

Answer 2

Escribiendo los coeficientes de $b_1,b_2,b_3$ en sentido de las columnas de cada una de las tres condiciones, el mapa lineal $A$ será un $9\times 9$ matriz con todas las entradas en la unidad.

El polinomio característico $f_A(t)=t^3-3t^2$ da valores propios $0,0,3$ . Los vectores propios correspondientes serán $(1,-1,0)^T,(1,0,-1)^T$ y $(1,1,1)^T$ respectivamente.

Answer 3

En relación con la base $B$ los vectores de coordenadas de los elementos de $B$ son varias columnas de la matriz identidad, y la multiplicación a la derecha de una matriz por la $j$ La columna de la identidad recoge su $j$ columna, por lo que las columnas de $[\phi]_B$ son sólo las coordenadas de las imágenes de los vectores base. Parece que ya lo sabes.

Ahora recordemos que las coordenadas de un vector relativas a una base ordenada son simplemente los coeficientes de la única combinación lineal de los vectores de la base que es igual a ese vector. Se da que la imagen de cada vector base $b_i$ es $b_1+b_2+b_3$ . ¿Cuáles son las coordenadas de este vector con respecto a $B$ ? ¿Qué significa esto para las columnas de $[\phi]_B$ ?

Para la segunda parte, ya que las columnas de $[\phi]_B$ son idénticas y no nulas, se sabe que la matriz tiene rango uno, por lo que su espacio nulo es bidimensional. Esto significa que $0$ es un valor propio con multiplicidad algebraica de al menos dos. Se puede encontrar el tercer valor propio examinando la traza de $[\phi]_B$ que es igual a la suma de los valores propios. Una vez que tengas los tres valores propios, espero que sepas construir el polinomio característico. Espero que sepas encontrar una base para el espacio nulo de una matriz. Esto te dará dos vectores propios independientes de cero. Para el eigenvector correspondiente al valor propio restante, una vez más utilizar el hecho de que la matriz tiene rango uno, y la única posibilidad para el espacio propio de un valor propio no cero es su espacio de columnas.