Si $f\in C^1[a,b]$ entonces se puede expresar mediante la suma de una función creciente y una función decreciente.

Question

Pruébalo: Si $f$ es una clase continua $1$ función en $[a,b]$ entonces se puede expresar mediante la suma de una función creciente y una función decreciente.

No sé por dónde empezar mi demostración, agradecería mucho su ayuda por favor.

Answer 1

Supongo que quieres decir "no decreciente" en lugar de creciente, y "no creciente" en lugar de decreciente. Dejemos que $g$ y $h$ sean los sumandos no decrecientes y no crecientes, respectivamente. Nótese que definiremos $g$ y $h$ para que sean continuos. Sea $g(a) = 0$ y $h(a) = f(a)$ . Simplemente puede hacer $g$ constante siempre que la derivada de $f$ es no positivo y $h$ constante siempre que sea no negativa. Supongamos que $f$ tiene un máximo local en $c$ y su siguiente mínimo local en $d$ por lo que es decreciente en $(c, d)$ : a continuación, en $(c, d)$ , $h(x) = f(x) - r$ , donde $r = g(c)$ También se puede definir $g$ sea una copia traducida del gráfico de $f$ en cualquier intervalo en el que $f$ está aumentando.

Answer 2

Dejemos que $g_1 = \max(f', 0)+1$ y $g_2 = \min(f',0) - 1$ . Considere $f(a) + \int_a^x g_1(t)\; dt$ y $\int_a^x g_2(t)\; dt$ .