Clase de equivalencia de permutaciones basadas en la descomposición de ciclos y sus inversas

Question

En mi investigación ha surgido una clase de equivalencia de permutaciones, y me pregunto si alguien sabe si tiene nombre o se ha estudiado antes. Si es así, agradecería que me indicaran más información.

En concreto, dos permutaciones se consideran equivalentes si tienen la misma descomposición de ciclos, hasta los inversos de los ciclos. Así, por ejemplo, las permutaciones

$(123)(456) \equiv (132)(456) \equiv (123)(465) \equiv (132)(465)$

Y generalmente, si el $\sigma_{i}$ son ciclos disjuntos, entonces todas las permutaciones

$\sigma_{1}^{\pm}\sigma_{2}^{\pm} \cdots \sigma_{k}^{\pm}$

son equivalentes. Como he dicho, si alguien ha visto esto antes y puede indicarme información al respecto, se lo agradecería mucho. Gracias.

Answer 1

Si $f(n)$ es el número de clases de equivalencia, entonces $$ \sum_{n\geq 0} f(n)\frac{x^n}{n!} = \frac{\exp\left(\frac x2+ \frac{x^2}{4}\right)}{\sqrt{1-x}}. $$ Esto se remonta a Frobenius. También es el número de monomios distintos en la expansión del determinante de un $n\times n$ matriz simétrica genérica. Véase Combinatoria Enumerativa vol. 2, ejemplo 5.2.9. El ejercicio 5.18 es similar.