Algunas funciones $\phi:\mathbb R\rightarrow \mathbb C$ que satisfagan $\phi(x)\bar\phi(y)=\phi(x-y)$

Question

Consideremos la función $\phi(x)$ , $\phi:\mathbb R\rightarrow \mathbb C$ e indicar con $\bar \phi$ el conjugado de $\phi$ . Consideramos la propiedad: $$\phi(x)\overline{\phi(y)}=\phi(x-y)$$ La función exponencial $e^{ix}$ ( $x\in\mathbb R$ ), por ejemplo, satisface esta propiedad. ¿Es la única función que satisface esta propiedad? ¿Conoces otros ejemplos de esta propiedad?

Muchas gracias.

Answer 1

Supongamos que $\overline{\phi(0)}\ne 0$ entonces $$\phi(0)=|\phi(0)|^2$$ así que $\phi(0)>0$ por lo tanto $\phi(0)=1$ . A partir de esto tenemos $\phi(-x)=\overline{\phi(x)}$ . Como tal, $1=\phi(x-x)=|\phi(x)|^2$ Así que realmente

$$\phi:\Bbb R\to S^1$$

y $\phi$ es un homomorfismo por la propiedad dada. Si estás dispuesto a asumir la continuidad, sabemos que los homomorfismos continuos (es decir caracteres de grupo ) de $\Bbb R\to S^1$ son sólo los mapas

$$\{x\mapsto e^{i\alpha x}:\alpha\in\Bbb R\}\qquad (*)$$

Así que esta es una caracterización completa. En particular, desde que añadí el pequeño $\alpha$ allí, ¡usted mismo tiene incontables e infinitos ejemplos más!

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Sólo has preguntado por ejemplos, pero en caso de que te interese saber cómo se clasifica la $(*)$ va, no es terriblemente difícil si se sabe un poco de topología básica (compacidad local sobre todo) y se presenta muy bien en la tesis de Tate o en la de André Weil Teoría básica de los números (entre otros lugares).

Answer 2

Suponiendo que $\phi$ no es la función cero, podemos demostrar que si una función satisface su ecuación funcional entonces $\phi(0)=1$ . Esto se debe a que $$\phi(x) = \phi(x+0) = \phi(x)\overline{\phi(0)}.$$

Si además suponemos que la función es diferenciable en cero, entonces podemos ver que:

$$\phi'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{\phi(x+h)-\phi(x)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{\phi(x)(\overline{\phi(-h)} - 1)}{h} = \phi(x) \lim_{h\to 0} \frac{\phi(h)-1}{h} = \phi(x) \phi'(0).$$

Aquí utilizamos $\overline{\phi(-h)}=\phi(h)$ como se ha señalado en los comentarios. Así, $\phi$ satisface la ecuación $\phi' = C\phi$ donde $C = \phi'(0)$ , por lo que tenemos $\phi = e^{C x}$ para algunos $C$ .

Para determinar $C$ reexaminamos la ecuación funcional. $e^{Cx}e^{\overline{C}y} = e^{C(x-y)}.$

Por lo tanto, $Cx + \bar C y = C(x-y) + 2\pi\cdot k$ para algunos $k \in \mathbb{Z}$ . Esto nos dice que $\bar C y= - Cy + 2\pi \cdot k$ . Más información: $\bar C + C = 2\pi \frac{k}y$ . Sin embargo, como $y$ puede cambiar, $k$ debe ser $0$ . Así, $\bar C + C = 0$ y esto significa $C$ es imaginario.