¿El producto de dos categorías abelianas es también abeliano?

Question

Me gustaría saber si/cuando el producto de dos categorías abelianas es también una categoría abeliana. He visto afirmaciones en algunos lugares que me hacen pensar que es cierto, como esta pregunta Coproducto de categorías abelianas . Parece que al menos tendría que trabajar en la categoría 2 de las categorías abelianas.

Empecé a intentar demostrarlo a partir de la definición de categoría abeliana, pero me parecía que sólo estaba moviendo símbolos y quizás no entendía nada.

Answer 1

Sí, el producto de dos categorías abelianas es abeliano. La prueba es básicamente trivial: todas las nociones utilizadas en la definición de una categoría abeliana (objetos cero, núcleos, cokernels, mónicos, etc.) se pueden comprobar por separado en cada coordenada cuando se tiene un producto de categorías (así, por ejemplo, $(A,B)$ es un objeto cero si tanto $A$ y $B$ son objetos cero, y $(f,g):(A,B)\to(C,D)$ es un núcleo de $(h,i):(C,D)\to(E,F)$ si $f$ es un núcleo de $h$ y $g$ es un núcleo de $i$ ). Por tanto, si ambas coordenadas satisfacen todos los axiomas de una categoría abeliana, también lo hará la categoría producto.