Manipulación trigonométrica para $\arctan$

Question

Estoy tratando de simplificar $p = \frac{1}{2} + \frac{2}{\pi}\arctan(\frac{V_b-V_a}{V_b+V_a}) \text{ to } p = \frac{2}{\pi}\arctan(\frac{V_b}{V_a})$ .

Estoy teniendo problemas para empezar ya que no puedo ver las manipulaciones trigonométricas pertinentes para usar en $arctan$ aquí.

Answer 1

Se deduce de la fórmula de $\tan(x-y)$ que $$\arctan\frac{A-B}{1+AB}=\arctan(A)-\arctan(B).$$ Aplique esto con $A=\dfrac{V_b}{V_a}$ y $B=1$ : $$\frac{\frac{V_b}{V_a}-1}{1+\frac{V_b}{V_a}}=\frac{V_b-V_a}{V_a+V_b}$$ y así, $$\arctan\frac{V_b-V_a}{V_b+V_a}=\arctan(V_b/V_a)-\arctan(1)=\arctan(V_b/V_a)-\frac{\pi}{4}\,.$$

Answer 2

Nota

$\arctan\frac{V_b-V_a}{V_b+V_a}= \arctan\frac{\frac{V_b}{V_a}-1}{1+1\cdot\frac{V_b}{V_a}}= \arctan \frac{V_b}{V_a} - \arctan1= \arctan \frac{V_b}{V_a}-\frac\pi4 $

Así,

$p = \frac{1}{2} + \frac{2}{\pi}\arctan\frac{V_b-V_a}{V_b+V_a}= \frac{2}{\pi}\arctan\frac{V_b}{V_a}$