Cómo mostrar $f=g$ casi en todas partes

Question

Cómo mostrar $f=g$ casi en todas partes

Sean dos funciones medibles de valor real $f$ y $g$ sea tal que para cualquier conjunto medible $E$ las integrales $\int_E f\,d\mu$ y $\int_E g\,d\mu$ coinciden.

¿Podría ayudar, por favor?

Parece obvio. podríamos definir las integrales como cargas. podemos hacer algo a partir de aquí. pero no sé cómo enfocarlo.

Answer 1

Si $f = g$ a.e. no se cumple, entonces uno de los conjuntos

$$A_n := \{x \in X \mid f(x) \geq g(x) + 1/n\}$$

o

$$B_n := \{x \in X \mid g(x) \geq f(x) + 1/n\}$$

tiene una medida positiva (¿por qué?).

Supongamos ahora que $X$ es $\sigma$ -finito (o semifinito, de lo contrario la afirmación es en general errónea).

Entonces existe un subconjunto $E \subset A_n$ o $E \subset B_n$ de medida positiva y finita (¿por qué?).

Concluir que $\int_E f \, d\mu \neq \int_E g \, d\mu$ .

EDIT: Como se observa en los comentarios, no es tan fácil demostrar que $\int_E f \,d\mu \neq \int_E g \, d\mu$ si no se sabe que las dos integrales son realmente finitas. Pero para asegurar esto, podemos modificar los conjuntos $A_n,B_n$ a

$$ A_n ' = A_n \cap \{x \mid |f(x)|+|g(x)|\leq n\} $$ (similar para $B_n '$ ) y luego utilizar la prueba como se ha descrito anteriormente.