¿Qué puede decir sobre el orden de $a$ ?

Question

Supongamos que $ G$ es un grupo no cíclico de orden $49$ y la identidad e $\neq$ a $\in$ G satisface $a^{49} = e$ . ¿Qué puede decir sobre el orden de $a$ ?

Llegué a la conclusión de que significaría que el orden de $a$ es $49$ o un divisor de $49$ . Pero como no es cíclico, creo que eso significaría que el orden de a no puede ser 49 porque ese es el orden del grupo $G$ . Pero no $a^{49} = e$ significa que $ord(a) = 49$ ?

Answer 1

El orden de un elemento divide el orden del grupo. Así, si $d = |a| \to d \mid 49 \to |a| = 1,7,49$ . Desde $a \neq e$ y $G$ es no cíclica, se deduce que $|a| = 7$ .