Evaluar $\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{n} \frac{\cos(x/n)}{\sqrt{x+\cos(x/n)}}dx$

Question

El siguiente problema surgió en un examen de calificación.

Evaluar $\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{n} \frac{\cos(x/n)}{\sqrt{x+\cos(x/n)}}dx$ .

Estaba pensando en intentar acotar el integrando y luego aplicar el DCT pero no encuentro la forma de acotarlo mediante un $L^{1}((0,\infty))$ función. Estoy empezando a creer que no converge.

Answer 1

Utilice la sustitución $x = ny$ para conseguir

$$\lim_{n\to\infty}\int_0^1\frac{n\cos y}{\sqrt{ny+\cos y}}\:dy = \lim_{n\to\infty}\sqrt{n}\int_0^1\frac{\cos y}{\sqrt{y+\frac{\cos y}{n}}}\:dy$$

Teniendo en cuenta sólo la parte integral, tenemos que en $(0,1)$

$$\frac{\cos y}{\sqrt{y+\frac{\cos y}{n}}} \leq \frac{1}{\sqrt{y}} \in L^1((0,1))$$

por lo que la convergencia dominada indica que

$$\lim_{n\to\infty}\int_0^1\frac{\cos y}{\sqrt{y+\frac{\cos y}{n}}}\:dy \to \int_0^1 2\cos(t^2)\:dt > 0$$

una integral de una función continua en un intervalo compacto (converge) lo que significa

$$\lim_{n\to\infty}\sqrt{n}\int_0^1\frac{\cos y}{\sqrt{y+\frac{\cos y}{n}}}\:dy \to \infty$$

por las propiedades de los productos de las secuencias.

Answer 2

Observe que

$$\int_{0}^{n} \frac{\cos(x/n)}{\sqrt{x+\cos(x/n)}}dx \ge \int_{0}^{n} \frac{\cos1}{\sqrt{x+1}}dx$$ $$ = 2\cos 1\sqrt{x+1}\,\big |_0^n = 2\cos 1(\sqrt{n+1}-1) \to \infty.$$