Series que implican la función Q de Marcum

Question

Me gustaría tener una mejor forma de esta serie:

$$\sum_{k=0}^{\infty}\,\frac{1}{k!}\,\left(\frac{ab\sin(c)}{\sqrt{2}}\right)^{2k}\,Q_{k+\frac{3}{2}}\left(ab\cos(c),bx\right)$$

donde $Q_m(\alpha,\beta)$ es el generalizado Función Q de Marcum . ¿Alguien tiene una idea de cómo proceder, si es posible para hacerlo mejor (por ejemplo, deshacerse de la serie)? ¡Gracias!

EDITAR: ¿podría el resultado ser sólo proporcional a $Q_{\frac{3}{2}}\left(ab,bx\right)$ ???

Answer 1

Bueno, supongo que de alguna forma. Pero al mismo tiempo se puede obtener una solución de forma cerrada.
Para simplificar, establezcamos $\alpha=\left(\frac{ab\sin(c)}{\sqrt{2}}\right)^{2}$ y $\beta=ab\cos(c)$
Teniendo en cuenta la definición de la función Q de Marcum generalizada: $$ \begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{\infty}\,\frac{\alpha^{k}}{k!}\,\,Q_{k+\frac{3}{2}}\left(\beta,bx\right)&=& \sum_{k=0}^{\infty}\,\frac{\alpha^{k}}{k!}\,\,\int_{bx}^{\infty} t \left( \frac{t}{\beta}\right)^{k+\frac{1}{2}} \exp \left( -\frac{t^2 + \beta^2}{2} \right) I_{k+\frac{1}{2}} \left( \beta t \right) \ \mathrm dt\\ &=&\frac{\exp \left(\!-\!\frac{\beta^2}{2}\! \right)}{\sqrt{\beta}}\int_{bx}^{\infty} t^{\frac{3}{2}}e^{-\frac{t^2}{2}}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(\frac{\alpha t}{\beta}\right)^k}{k!}I_{k+\frac{1}{2}}(\beta t) \ \mathrm dt\\ \end{eqnarray} $$ Entonces se puede utilizar la tabla de integrales, series y productos de Gradshteyn y Ryzhik (segunda parte): $$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\xi^k}{k!}I_{k+\nu}(\eta)=\left(\frac{2\xi}{\eta}+1\right)^{-\frac{\nu}{2}}I_{\nu}\left(\sqrt{\eta^2+2\eta\xi}\right), \qquad |2\xi|<|\eta|$$ Así que $$ \begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{\infty}\,\frac{\alpha^{k}}{k!}\,\,Q_{k+\frac{3}{2}}\left(\beta,bx\right) =\frac{\exp \left(\!-\!\frac{\beta^2}{2}\! \right)}{\sqrt{\beta}}\left(1+\frac{2\alpha}{\beta^2}\right)^{-\frac{1}{4}} \int_{bx}^{\infty} t^{\frac{3}{2}}e^{-\frac{t^2}{2}}I_{\frac{1}{2}}(\sqrt{2\alpha+\beta^2}|t|) \ \mathrm dt=\\ =\text{A} \ \left[\sqrt{\pi } \sqrt{2 \alpha +\beta ^2} e^{\alpha +\frac{1}{2} \left(b^2 x^2+\beta ^2\right)+b x \sqrt{2 \alpha +\beta ^2}}\left(\text{erfc}\left(\frac{ \sqrt{2 \alpha +\beta ^2}+b x}{\sqrt{2}}\right)+\text{erfc} \left(\frac{b x-\sqrt{2 \alpha +\beta ^2}}{\sqrt{2}}\right) \right)+\sqrt{2} \left(e^{2 b x \sqrt{2 \alpha +\beta ^2}}-1\right)\right] \end{eqnarray} $$ donde $\text{A}=\frac{\exp \left(-\frac{\beta ^2}{2}-\frac{1}{2} b x \left(2 \sqrt{2 \alpha +\beta ^2}+b x\right)\right)}{2 \sqrt{\pi } \sqrt{\left(2 \alpha +\beta ^2\right) \text{sgn}(\beta)}}$ La última ecuación se obtuvo a través de Mathematica (o puedes recurrir a Gradshteyn y Ryzhik ;)). La ecuación se simplificó asumiendo que $\alpha>0, \ x>0, \ \beta\in\mathbb{R}$ . Si no es así, el resultado se vuelve más desagradable (con muchas raíces cuadradas). Supongo que puedes convertir la última integral en alguna forma de la función Q de Marcum generalizada, si quieres:

$$\int_{bx}^{\infty} t^{\frac{3}{2}}e^{-\frac{t^2}{2}}I_{\frac{1}{2}}(\sqrt{2\alpha+\beta^2}|t|) \ \mathrm dt=(2\alpha+\beta^2)^{\frac{1}{4}}e^{\frac{|2\alpha+\beta^2|}{2}}Q_{\frac{3}{2}}\left(\sqrt{2\alpha+\beta^2},bx\right)$$ Así que $$\sum_{k=0}^{\infty}\,\frac{\alpha^{k}}{k!}\,\,Q_{k+\frac{3}{2}}\left(\beta,bx\right)=e^{\alpha}Q_{\frac{3}{2}}\left(\sqrt{2\alpha+\beta^2},bx\right)$$ Observando que $\sqrt{2\alpha+\beta^2}=a \ b $ el resultado resulta ser aún más sencillo.