Cohomología de variedades de representación

Question

Tal vez esta pregunta sea demasiado general, entonces lo siento.

Mi pregunta es la siguiente.

Dejemos que $\pi$ sea el grupo fundamental de una superficie compacta de género $g$ (con si es necesario $n$ pinchazos) y $G$ un grupo de Lie. No hago suposiciones sobre el grupo de Lie, pero si es interesante hacerlo, entonces está bien.

¿Se conoce algún resultado sobre la cohomología de la variedad de representación $Hom(\pi,G)$ si no es un colector.

Así que sé los cálculos para $Hom(\pi,G)/G$ por Atiyah y Bott donde tiene una estructura suave. Pero aquí sólo me interesa la cohomología del espacio topológico que está en resultados más generales.

Answer 1

Creo que es difícil decir algo en general, pero sugeriría empezar por mirar el trabajo de W. Goldman para conocer el tema.

Por ejemplo, incluso la computación $H^0(\mathrm{Hom}(\pi,G); \mathbb{Z})$ no es trivial cuando $G$ es agradable. En su tesis, Goldman demostró que $H^0(\mathrm{Hom}(\pi,\mathrm{PSL}_2(\mathbb{R})); \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}^{4g-3}$ donde hay una copia de $\mathbb{Z}$ para cada clase de euler posible. Véase Goldman, Componentes topológicos de espacios de representaciones. Invent. Math. 93 (1988), no. 3, 557-607.

Answer 2

Si $G=U(n)$ entonces sé bastante. Dejando $n$ tienden al infinito, Hom $(\pi_1 M^g, U)$ es equivalente en homotopía a $U^{2g} \times BU$ , por lo que de forma estable se puede escribir la cohomología utilizando hechos estándar sobre el grupo unitario infinito. También existe un rango de estabilidad para las inclusiones Hom $(\pi_1 M^g, U(n))\to$ Hom $(\pi_1 M^g, U(n+1))$ (son $(2n-2)$ -de los mapas conectados). Aproximadamente este rango es el rango de estabilidad de los grupos unitarios menos 2, si no recuerdo mal.

La forma de demostrar estas cosas es seguir a Atiyah-Bott y pensar en el espacio de representación como el espacio de las conexiones planas modulo el grupo gauge basado. Si este es el tipo de información que buscas, y quieres saber más detalles, puedo decir más. Creo que escribí unas notas hace unos años que repasan esto cuidadosamente. Pero como ya has mencionado a Atiyah-Bott, puede que estés buscando en otra dirección.

Si se perfora la superficie, el grupo fundamental se vuelve libre. Entonces podría interesarte el artículo de Tyler Lawson sobre la similitud simultánea de matrices unitarias (Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 2008 o http://arxiv.org/abs/0809.0466 ). O puede que le interese seguir alguna estructura adicional relacionada con los pinchazos, en cuyo caso puede interesarle algún trabajo de Tom Baird.