Hay un problema en Griffiths "Introducción a la electrodinámica" cuyas "soluciones" disponibles en línea parecen no tener en cuenta la cuestión. El problema exacto al que me refiero es el problema 5.12 (4ª edición), o el problema 5.38 (3ª edición).
Recapitularé aquí el problema:
Dado que las corrientes paralelas se atraen, es posible que se te haya ocurrido que la corriente dentro de un solo cable, debida enteramente a los electrones móviles, debe concentrarse en una corriente muy fina a lo largo del cable. Sin embargo, en la práctica, la corriente suele distribuirse de forma bastante uniforme por el cable. ¿Cómo se explica esto?
Bien, hasta ahora el problema parece pedirnos que demostremos que, efectivamente, en contra de nuestra suposición inicial, los electrones móviles se extienden uniformemente por la sección transversal del cable. Pero luego el problema continúa diciendo lo siguiente:
Si las cargas positivas distribuidas uniformemente (densidad de carga $\rho_+$ ) están "clavadas", y las cargas negativas (densidad de carga $\rho_-$ ) se mueven a velocidad $v$ (y ninguno de ellos depende de la distancia al eje) , demuestran que $\rho_-=-\rho_+\gamma^2$ , donde $\gamma=1/\sqrt{1-(v/c)^2}$ .
¿Qué? ¡En el texto en negrita, Griffiths (aparentemente) derrotó el propósito de este problema!
Mi pregunta es, ¿se puede demostrar clásicamente que, según las ecuaciones de Maxwell (y los principios de simetría), la densidad de carga de los electrones y/o la velocidad de esos electrones es independiente de la distancia radial desde el eje central del cable? He intentado demostrarlo, pero sólo puedo acabar con la siguiente ecuación:
$$\frac{v(s)}{c^2}\int_0^s \rho(s')v(s')s'ds'=\int_0^s(\rho_++\rho_-(s'))s'ds'$$
A partir de aquí, si asumo $\rho_-(s)$ y $v(s)$ son constantes, entonces el resultado $\rho_-=-\rho_+\gamma^2$ fácilmente lo siguiente.
NOTA: Este no es un problema de tarea para una clase mía, pero aunque lo fuera creo que la pregunta sigue siendo válida.
EDITAR:
Si suponemos que la velocidad es independiente de la distancia radial al centro, podemos demostrar que esto implica $\rho_-(s)=\rho_-$ (constante).
$$ \begin{align*} \frac{v(s)}{c^2}\int_0^s \rho(s')v s'ds'&=\int_0^s(\rho_++\rho_-(s'))s'ds'\\ \implies0&=\int_0^s\left(\rho_++\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)\rho_-(s')\right)2\pi s' ds'~~\textrm{(for all }s\textrm{)} \\ \implies 0&= \rho_++\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)\rho_-(s)\\ &\implies \boxed{\rho_-(s)=-\gamma^2\rho_+ }~~\textrm{(constant!)} \end{align*}$$
