Campo vectorial suave a trozos

Question

Estoy leyendo el libro de Milnor Teoría de Morse en la página 67 define el espacio tangente.

"Por el espacio tangente de $\Omega$ (que es el espacio de la trayectoria) en una trayectoria $\omega$ se entenderá el espacio vectorial formado por todos los campos vectoriales suaves a trozos $W$ a lo largo de $\omega$ para lo cual $W(0) = 0$ y $W(1) = 0$ ."

Lo que no entiendo es la última parte de la definición $W(0) = 0$ y $W(1) = 0$ . ¿Qué significa para el campo vectorial $W$ para actuar de esta manera? ¿Es lo mismo que cuando se dice que un campo vectorial se desvanece? Si es así, ¿qué significa?

Answer 1

No tengo el libro delante, pero creo que el campo vectorial está a lo largo de la curva. Así que en cada punto de la curva eliges un vector en el colector en el que vive la curva. La curva es un mapa $\omega:[0,1]\rightarrow M$ en el colector $M$ y el campo vectorial se elige de forma que para cada $t\in [0,1]$ se elige un vector $W(t)\in T_{\omega(t)}M$ . Otra forma de decir esto es que $W$ es una sección del haz de arrastre $\omega^*(TM)$

¿Por qué el espacio tangente a lo largo de una trayectoria debe ser un campo vectorial de este tipo? Imagina una familia de curvas $\omega_s$ con $\omega_0=\omega$ . Entonces el cambio infinitesimal viene dado por $W(t)=\frac{d\omega_s(t)}{ds}$ . Si los puntos finales son fijos, es decir $\omega_s(0)=\omega(0)$ y $\omega_s(1)=\omega(1)$ podemos concluir que $W(0)=0$ y $W(1)=1$ .

Deberías dibujar algunas familias de trayectorias e intentar dibujar los campos vectoriales que acabo de describir para tener una intuición.