Demostrar que si $p$ es un primo, entonces $p$ divide $(a+b)^p-a^p-b^p$

Question

Tengo que probar

Si $p$ es un primo, entonces $p$ divide $(a+b)^p-a^p-b^p$ con $a$ , $b \in \mathbb N$ .

Mi enfoque:

$$(a+b)^p=\sum \binom{p}{r}a^{n-r}b^r$$ donde $r$ va de $1$ a $p$ .

Entonces $a^p$ y $b^p$ se anularía y el plazo restante sería $\displaystyle \binom{p}{r}$ que es un múltiplo de $p$ si $p$ es un primo.

En caso contrario, si $p$ no es un primo entonces se anularía del factor del denominador

al ser un primo no existiría en los factoriales de nada menos que $p$

Por lo tanto, hemos demostrado.

¿Estoy en lo cierto?

¿Puede alguien sugerirme alguna forma alternativa?

Answer 1

Tienes las ideas correctas, sin embargo la presentación puede no ser comprensible para alguien que no sepa cómo "funciona" este problema.

En primer lugar, por un simple error, el índice $r$ en su fórmula de suma va de 0 a $p$ .

Lo que has afirmado correctamente y que hay que demostrar es que ${p \choose r}$ es divisible por $p$ si $p$ es un primo y $1 \le r \le p-1$ .

Usted declaró:

De lo contrario, si p no es un primo, se anularía del factor del denominador.

Pensar en lo que es diferente de ${p \choose r}$ cuando $p$ es un primo frente a cuando no lo es puede ser importante a la hora de intentar resolver el problema, pero exponerlo aquí no sirve de nada, porque sólo estamos tratando con un $p$ que es primordial. Tampoco es correcto, ya que ${p \choose 1} = p$ es un valor divisible por $p$ para todos $p$ . De manera similar, ${9 \choose 2} = \frac{9*8}{2}= 36$ es divisible por 9, etc.

El argumento correcto que has dado es

al ser un primo no existiría en los factoriales de nada menos que p

Más formalmente, ya que ${p \choose r} = \frac{p!}{r!(p-r)!}$ el enumerador es divisible por $p$ pero como $r < p$ y $p-r < p$ (recuerda $1 \le r \le p-1$ ), ninguno de los factoriales del denominador es divisible por $p$ , como $p$ es primo.

Answer 2

Vale, así que quieres confirmación/verificación de tu prueba.

Debo decir que tienes razón. Pero fíjate en una cosa que estás usando un método largo, no hay necesidad de tomar el caso cuando $p$ no es primo. La pregunta pide que $p|(a+b)^p-a^p-b^p$ si P es primo. Por lo tanto, el momento en que se demuestra que todo primo p divide $(a+b)^p-a^p-b^p$ ya está hecho.

En la ampliación $(a+b)^p=\sum \binom{p}{r}a^{n-r}b^r$ los términos $a^p$ y $b^p$ se anulará y los términos restantes contendrán $\displaystyle \binom{p}{r}$ donde la relación $1 \le r \le p-1$ retenciones. Dado que $p$ es primo, ningún valor del conjunto { $1,2,3,......p-1$ } dividirá $p$ , O $\displaystyle \binom{p}{r}$ seguirá conteniendo $p$ después de las operaciones aritméticas. así que $p$ dividirá cada término de la forma $\displaystyle \binom{p}{r}$ .

Por lo tanto, $p$ dividirá cada término de la expansión $(a+b)^p=\sum \binom{p}{r}a^{n-r}b^r$ (excepto $a^p$ y $b^p$ que ya están anulados). Creo que hemos terminado.