¿Cuál es la unidad de $\mathbb Z_1$ ?

Question

Tengo casi resuelta una cuestión que es la siguiente $:$

$U(\mathbb Z_n) \cong \mathbb Z_{\phi (n)}$ para $1 \leq n \leq 7$ donde $U(\mathbb Z_n)$ denota el conjunto de todas las unidades de $\mathbb Z_n$ y $\phi$ denota la $\phi$ función.

Lo he probado para $2 \leq n \leq 7$ ya que es bastante sencillo. Pero el problema se crea debido a $n=1$ . Porque sabemos que $\mathbb Z_1 = \{\bar 0 \}$ . Pero entonces $U(\mathbb Z_1) = \emptyset$ que no puede ni siquiera un grupo ya que cada grupo es no vacío y al menos contiene el elemento identidad del mismo.

No sé en qué me he equivocado. Por favor, ayúdenme a superar esos errores (si los hay).

Gracias de antemano.

Answer 1

La parte en la que te equivocas es en decir que $U(\mathbb{Z}_1) = \varnothing$ cuando en realidad, $U(\mathbb{Z}_1) = \mathbb{Z}_1$ . Obviamente la contención hacia adelante es verdadera, por lo que sólo necesitamos demostrar que si $x \in \mathbb{Z}_1$ entonces $x$ es multiplicativamente invertible en $\mathbb{Z}_1$ . Por lo tanto, si $x \in \mathbb{Z}_1$ entonces $x = 0$ por razones bastante obvias. Entonces, $0 \cdot 0 \equiv 1 \cdot 1 \equiv 1 \mod 1$ Así que $0$ es multiplicativamente invertible mod $1$ y hemos terminado.