Considere la posibilidad de un suave $n$ -de la variedad riemanniana $M$ con propiedades geométricas y topológicas suficientemente buenas como para que exista un único núcleo de calor $(t,x,y) \mapsto p(t,x,y)$ en él ( $t>0$ ). Consideremos la igualdad
$$p(t,x,y) = \frac 1 {\sqrt {4 \pi t}^n} \Bbb e ^{- \frac 1 4 \int \limits _0 ^t \langle \dot c, \dot c \rangle \ \Bbb d s } .$$
Si $M = \Bbb R^n$ la curva $c$ que satisface la igualdad anterior es precisamente la geodésica (única) que conecta $x$ y $y$ .
Mi pregunta es: ¿qué se puede decir sobre $c$ en colectores abstractos $M \ne \Bbb R ^n$ ? ¿Tienen nombre estas "falsas geodésicas", se han estudiado? Si es así, ¿dónde podría encontrar más información sobre ellas?
Es evidente que no pueden ser geodésicas, en general, ya que la igualdad
$$\int \limits _0 ^t \langle \dot c, \dot c \rangle \Bbb d s = \frac {d(x,y)^2} t$$
para una geodésica $c: [0,t] \to M$ con $c(0) = x$ y $c(0) = y$
implicaría que
$$p(t,x,y) = \frac 1 {\sqrt {4 \pi t}^n} \Bbb e ^{- \frac {d(x,y)^2} {4t} } ,$$
lo que en general no es cierto.
