Caracteres en la teoría analítica de los números

Question

Tengo problemas para entender algunos conceptos generales relacionados con los caracteres en la teoría analítica de números. En particular, entiendo que el $\chi$ es una función completamente multiplicativa y periódica de $\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{C}$ y que desempeña un papel importante en el estudio de las funciones Zeta y las funciones L de Dirichlet.

Sin embargo, me cuesta entender el concepto más general de "personajes". Por ejemplo, he leído la siguiente definición de personaje " el carácter de una representación de grupo es una función sobre el grupo que asocia a cada elemento del grupo la traza de la matriz correspondiente " ( Wikipedia ). Esto es muy confuso, ya que no he encontrado ninguna matriz en la teoría de números para la que la traza fuera de especial interés. Además, no veo cómo una "representación de grupo" se aplica a funciones como la función L de Dirichlet.

Así que mis preguntas son las siguientes:

• ¿Cómo es $\chi$ relacionados con matrices o representaciones de grupos?
• ¿Por qué se llaman "caracteres"? ¿Por qué no basta con llamarlos "operadores periódicos de grupo" o algo similar? No veo de dónde viene la palabra "carácter".

Answer 1

Una representación matricial de un grupo $G$ puede ser $n$ -por- $n$ para cualquier entero $n$ . En particular, puede ser $1$ -por- $1$ . No son matrices muy interesantes. Parece ocioso mantener una distinción entre la matriz $\pmatrix{a}$ y el número $a$ que resulta ser resulta ser la traza de la matriz $\pmatrix{a}$ . Así que una representación por $1$ -por- $1$ matrices complejas es en realidad un homomorfismo de grupo $\chi: G\to \newcommand{\C}{\Bbb C}\C^\times$ .

Si $G$ es finito, entonces $\chi$ toma valores en el grupo de raíces de unidad en $\C^\times$ . Algunos autores llaman a un homomorfismo de grupo $\chi:G\to\C^\times$ a carácter de $G$ . Otros llaman a esto un cuasi-carácter reservando el carácter para el caso en que $|\chi(g)|=1$ para todos $G$ . Esta distinción es irrelevante cuando $G$ es finito.

A Carácter Dirichlet en efecto, es un carácter en un grupo multiplicativo grupo $\newcommand{\Z}{\Bbb Z}(\Z/N\Z)^\times$ . Uno extiende esto a un mapa en $\Z/N\Z$ tomando $\chi(a)=0$ cuando $\gcd(a,N)>1$ . Se puede considerar entonces como un $N$ -mapa periódico en $\Z$ .

Según la teoría de campos de clases, los caracteres Dirichlet corresponden a $1$ -dimensiones representaciones del grupo de Galois absoluto de $\Bbb Q$ . Para representaciones representaciones dimensionales, el análogo de la función L de Dirichlet es la función L de Artin.